با فرض : $f(x)= \sum _ {k=1} ^ {50} \frac{k}{1+ x^{k} } $ مطلوب است محاسبه: $f(2sin15)+f(2sin105)=?$

Question

با فرض :

$$f(x)= \sum _ {k=1} ^ {50} \frac{k}{1+ x^{k} }$$

مطلوب است محاسبه:

$f(2\sin15^{ \circ} )+f(2\sin105^{ \circ})=?$

Answer 1

قرار دهید:

$$g_k(x):= \frac{k}{1+x^k}$$

$$ \Rightarrow g_k(x)+g_k( \frac{1}{x})= \frac{k}{1+x^k}+\frac{k}{1+ \frac{1}{x^k}}=\frac{k}{1+x^k}+\frac{kx^k}{1+x^k}=k\frac{1+x^k}{1+x^k}=k$$

$$ \Rightarrow f(x)+f( \frac{1}{x})= \sum_{k=1}^{50}(g_k(x)+g_k(\frac{1}{x}))=\sum_{k=1}^{50}k= \frac{50 \times 51}{2}=1275$$

حالا توجه کنید که:

$$2sin15.2sin105=2(2sin15.sin105)=2(cos(-90)-cos120)=2(0+sin30)=2. \frac{1}{2}=1$$

حالا اگر قرار دهیم:

$$x:=2sin15$$

آنگاه داریم:

$$f(2sin105)= \frac{1}{x},f(2sin15)+f(2sin105)=f(x)+f( \frac{1}{x})=1275$$

$\Box$