Question

مقدار x را طوری بیابید که: $$ 2^{x} - 3^{x} = \sqrt{ 6^{x} - 9^{x} } $$ $$ \Longrightarrow ( 2^{x} - 3^{x} )^{2} = 2^{x} .3^{x} - 3^{2x} $$

Answer 1

$2^3-3^x= \sqrt{6^x-9^x} \Rightarrow (2^x-3^x)^2=6^x-9^x=2^x3^x-3^x3^x=3^x(2^x-3^x)$

$ \Rightarrow (2^x-3^x)^2-3^x(2^x-3^x) \Rightarrow (2^x-3^x)(2^x-3^x-3^3)=0$

$(2^x-3^x)(2^x-2.3^x)=0 \Rightarrow 2^x-3^x=0 \vee 2^x-2.3^x=0$

$1)if:2^x-3^x=0 \Rightarrow 2^x=3^x \Rightarrow ( \frac{2}{3} )^x=1 \Rightarrow x=Log_{ \frac{2}{3} }^1=0$

$if:2^x-2.3^x=0 \Rightarrow ( \frac{2}{3} )^x=2 \Rightarrow x=Log_{ \frac{2}{3} }^2$

واضح است که $x=0$ قلبل قبول است.برای $x=Log_{ \frac{2}{3} }^2$ داریم:

$6^x-9^x=9^x(( \frac{2}{3} )^x-1)=9^x(2-1)=9^x>0,2^x-3^x=3^x(( \frac{2}{3} )^x-1)=3^x>0$

پس هر دو جواب قابل قبولند.

$ \Box $