حاصل $xy$ را بیابید .

Question

اگر $x,y \in \mathbb R$ و $2^{x+2}=36$ و $27^{-y}=8$ در اینصورت حاصل $xy$ چقدر است؟

Answer 1

من یک راه دیگر برای حل این سوال پیدا کردم :

$2^{x+2}=36 \Longrightarrow 2^{x}*2^{2}=36 \Longrightarrow2^{x}=\frac{36}{4}=9$

.

$27^{-y}=8 \Longrightarrow 3^{-3y}=2^{3} \Longrightarrow (3^{-3y})^{-1}=(2^{3})^{-1} \Longrightarrow 3^{3y}=2^{-3} \Longrightarrow \sqrt[3]{3^{3y}}= \sqrt[3]{2^{-3}} \Longrightarrow3^{y}=2^{-1}$

.

$2^{x}=9 \Longrightarrow (2^{x})^{y}=(3^{2})^{y} \Longrightarrow 2^{xy}=(3^{y})^{2} \Longrightarrow2^{xy}=(2^{-1})^{2}=2^{-2} \Longrightarrow xy=-2$

Answer 2

$$2^{x+2}=2^x*2^2=4*2^x=36 \Rightarrow 2^x=9 \Rightarrow x=log_29=2log_2{3}$$ از طرفی $$ 27^{-y}=8 \Rightarrow 3^{-3y}=8 \Rightarrow -3y=log_38 \Rightarrow y=log_3{ \frac{1}{ \sqrt[3]{8} } }$$ $$ \Rightarrow y=log_3{\frac{1}{2}}=-log_3{2} $$ با فرض $t=log_2{3} , (t \neq 0)$ خواهیم داشت $3=2^t$ پس با جایگذاری خواهیم داشت: $$log_32=log _{2^t}2={\frac{1}{t}}$$ پس در نتیجه $xy=2log_23*(-log_32)=2t*(-\frac{1}{t})=-2$