زاویه x را میتوان با استفاده از خواص مثلثهای متساویالساقین در تصویر پیدا کرد. با توجه به شکل، اضلاع و زاویههای مقابل به هم برابر هستند، بنابراین:
- مثلث سمت چپ و مثلث سمت راست هر دو متساویالساقین هستند.
- زاویه روبهروی ضلع 24 برابر زاویه روبهروی ضلع 30 است.
- نام هر زاویه را بر اساس برنامهریزی مثلثها میگذاریم: فرض کنیم زاویه مقابل ضلع 24 را α و زاویه مقابل ضلع 30 را β بنامیم.
- در مثلث متساویالساقین، دو زاویه پایه برابر و مجموع سه زاویه 180 درجه است.
بنابراین در مثلث سمت راست، زاویه مقابل 30 درجه (β) را داریم و زاویه x را میخواهیم:
برای مثلث سمت راست:
$$ \beta + 2x = 180 \Rightarrow x = \frac{180 - \beta}{2} $$
برای مثلث سمت چپ:
$$ \alpha + 2y = 180 \Rightarrow y = \frac{180 - \alpha}{2} $$
حال، چون زاویههای β و α روبهروی اضلاع 30 و 24 هستند و مثلثها همنهشتاند (مطابق علامتهای برابر روی اضلاع)، پس:
$$ \alpha = \beta $$
پس مقدار x همان مقدار زاویه پایه مثلث متساویالساقین با راس β است، و برای مقدار دقیق باید α را بیابیم:
در مثلث سمت چپ:
- مجموع زاویههای مثلث 180: پس اگر زاویه مقابل 24 را α بگذاریم، دو زاویه دیگر $$ y $$ هستند:
$$ \alpha + y + y = 180 \Rightarrow \alpha + 2y = 180 \Rightarrow y = \frac{180 - \alpha}{2} $$
در مثلث سمت راست:
- زاویه مقابل 30، β است و پایههای زاویه x:
$$ \beta + x + x = 180 \Rightarrow \beta + 2x = 180 \Rightarrow x = \frac{180 - \beta}{2} $$
در تقاطع، زاویههای α و β با اضلاع برابر، پس α و β روبهروی اضلاع 24 و 30 هستند.
ولی چون مثلثها متساویالساقین و شکل متقارن است، زاویه x برابر است با زاویه مقابل ضلع 24 درجه:
یعنی زاویه x همان زاویه مقابل ضلع 24 درجه در مثلث متساویالساقین با ضلع پایه 30:
اگر زاویه مقابل ضلع 24 را با قانون سینوس پیدا کنیم:
در مثلث ضلعها 30 و 30 و 24، به شکل زیر:
$$ \frac{\sin x}{24} = \frac{\sin y}{30} $$
اما چون دو ضلع برابر، زاویههای روبهروی آن برابر x:
$$ 24/\sin X = 30/\sin Y \Rightarrow \frac{\sin X}{\sin Y} = \frac{24}{30} $$
در مثلث متساویالساقین، دو زاویه x پایه و زاویه روبهرو (y) رأس:
$$ x + x + y = 180 \Rightarrow y = 180 - 2x $$
مینویسیم:
$$ \frac{\sin x}{24} = \frac{\sin (180 - 2x)}{30} $$
اما $$ \sin (180 - 2x) = \sin(2x) $$
پس:
$$ \frac{\sin x}{24} = \frac{\sin(2x)}{30} $$
$$ 30 \sin x = 24 \sin(2x) $$
$$ 30 \sin x = 24 (2 \sin x \cos x) $$
$$ 30 \sin x = 48 \sin x \cos x $$
اگر $$ \sin x \neq 0 $$:
$$ 30 = 48 \cos x $$
$$ \cos x = \frac{30}{48} = \frac{5}{8} $$
پس زاویه x:
$$ x = \arccos \left( \frac{5}{8} \right) \approx 51.32 $$ درجه.
جواب نهایی
زاویه x تقریباً برابر با
$$ 51.32 $$
درجه است.
