فرض کنید تابع $f(x)$ با دامنهٔ $[D_1, D_2]$ و بردِ $[R_1, R_2]$ را داریم. اکنون برای تبدیل این تابع، یک عملگر در حالت کلی مانند $ \diamondsuit$ را در نظر بگیرید. دقت کنید که این تنها یک نماد است برای یک عملگر که می‌تواند برای مثال، جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و ... باشد. عدد ثابت $k$ (به‌طوری که $k\in\mathbb{R}$) را در نظر بگیرید. می‌نویسیم:
۱. $f(x)\ \diamondsuit\ k$
۲. $f(x\ \diamondsuit\ k)$
می‌دانید که تفاوت این دو، این است که اولی روی بُردِ تابع اعمال می‌شود و دومی روی دامنهٔ تابع. اکنون می‌خواهیم به‌صورت ریاضیاتی و دقیق بررسی کنیم که این تغییرات، از نظرِ هندسی (با در نظر گرفتنِ نمودار تابع) چه تغییراتی روی تابع ایجاد می‌کنند. دامنه و بردِ تابع $f(x)$ به‌ترتیب $[D_1, D_2]$ و $[R_1, R_2]$ هستند:
۱. $D_f = [D_1, D_2]\implies \color{black}{\boxed{D_1 \leq x \leq D_2}}$
۲. $R_f = [R_1, R_2]\implies \color{black}{\boxed{R_1 \leq f(x) \leq R_2}}$
به دو قسمتی که در داخل مستطیل هستند نگاه کنید. این دو، شبیه به هم به‌نظر می‌رسند ولی یک تفاوتِ اساسی دارند. در دومی، می‌توانیم به راحتی به هر سه طرفِ نامساوی عملگرِ دلخواه‌مان $ \diamondsuit $ را اعمال کنیم تا بردِ جدیدِ تابع به دست آید. برای مثال، فرض کنید $ \diamondsuit : +$ و داریم:
$R_1 \leq f(x) \leq R_2\implies R_1 + k\leq \boxed{f(x) + k} \leq R_2 + k\implies R_{f(x)+k}=[R_1+k, R_2+k]$
علامت مثبت در محور اعداد و مختصات، یعنی حرکت به طرفِ مثبت‌ها. پس اینجا نمودارِ تابع، $k$ واحد به سمت بالا می‌رود که اتفاقاً با شهودِ ما هم سازگار است. اما چیزی که با شهودتان ناسازگار شده، همان قسمت اول مربوط به دامنه است.
$$\color{black}{\boxed{D_1 \leq x \leq D_2}}$$
خب اکنون برای به‌دست آوردنِ دامنهٔ جدیدِ تابع $f(x+k)$، شاید بگویید خب به‌طورِ مشابه، سه طرفِ نامساوی را با $k$ جمع می‌کنیم تا دامنه تابع به‌دست آید، اما این درست نیست. بیایید دقیق نگاه کنیم. نمادِ $x$ در $D_1 \leq x \leq D_2$، به معنای ورودی تابع است (یعنی هر چیزی که در ورودی تابع در داخل پرانتز هست را باید به جای $x$ قرار دهید). حالا این ورودی ممکن است $x+π$ باشد یا $x^2+3x-1$!! پس اینجا داستان فرق می‌کند و مستقیماً ورودی تابع جدید یعنی $x+k$ را به جای $x$ قرار دهید:
$\color{black}{\boxed{D_1 \leq x \leq D_2}}\implies D_1\leq x+k\leq D_2\implies D_1-k\leq x\leq D_2-k\implies D_{f(x+k)}=[D_1-k, D_2-k]$
دیدید چه شد؟ در واقع از وارونِ عملگر $+$ یعنی $-$ استفاده کردیم تا دامنه را به‌دست بیاوریم. به همین دلیل است که تغییرات در نمودارِ تابع به‌صورت معکوس هست.
