Question

نشان دهید که تساوی زیر برقرار است: $$ \int _0^1 \frac{log(1+x)}{1+ x^{2} } dx= \frac{ \pi }{8} log2$$

Answer 1

ایده‌ای برای حل:

قرار دهید:

$I:[0,+ \infty ) \longrightarrow R,I(a):= \int _0^1 \frac{Log(1+ax)}{1+x^2} dx$

از اینجا داریم:

$\int _0^1 \frac{Log(1+x)}{1+x^2} dx=I(1),I(0)=0$

$I'(a)=\int _0^1 \frac{\partial}{\partial a} (\frac{Log(1+ax)}{1+x^2})dx=\int _0^1 \frac{x}{(1+ax)(1+x^2)} dx$

و این انتگرالیست که به کمک تجزیۀ کسرها یا انتگرال دوگانه (؟)به سادگی حل می شود.

$ \Box $