مقایسه دو راه حل برای انتگرال

Question

سلام، این دو راه حل را با هم مقایسه کنید، چرا یکسان نیستند؟ $ \int \frac{dx}{x\sqrt{ 1-(\ln x)^2}}=? $

با تغییر متغیر $ \ln x=u $

$\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\sin^{-1}(\ln x)+c $

با تغییر متغیر $(\ln x)^2=u $

$$2 \frac{dx}{x}\ln x=du \Rightarrow \frac{dx}{x}= \frac{du}{2\sqrt{u}}\Rightarrow \int \frac{dx}{x\sqrt{ 1-(\ln x)^2}}= \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{u-u^2}} $$

با مربع کامل کردن زیر رادیکال به انتگرال زیر می‌رسیم $$ \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{ \frac{1}{4} -(u- \frac{1}{2})^2 }} $$ اگر $t=u- \frac{1}{2} $ $$ \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{ \frac{1}{4}-t^2 }} = \frac{1}{2} \sin^{-1}2t+c= \frac{1}{2} \sin^{-1}(2u-1)+c= \frac{1}{2} \sin^{-1}(2(\ln x)^2-1)+c$$ چرا جواب ها یکسان نیست؟

یا عبارتی برای $\sin^{-1}(a-b)$ وجود دارد که در نهایت دو جواب را یکسان می کند؟

Comments

در مرحله دوم از ‏u=(Lnx)^2  داریم
sqru=|lnx|

---

@قاسم شبرنگ
منظور شما رابطه زیر است؟
$$\vert \ln x \vert =\sqrt{u} $$
چه تاثیری در محاسبات دارد؟
برای نوشتن عبارات ریاضی در بیان دیدگاه می توان از دو علامت دلار استفاده کرد و معادل لاتک فرمول ها را بین دو علامت دلار قرار داد. علاوه بر این اگر عبارات ریاضی را بین ۴ علامت دلار قرار دهیم عبارت در وسط قرار می گیرد.
مثلاً vert\ برای قدر مطلق یا {}sqrt\ برای رادیکال

---

بله.شما قدرمطلق را نگذاشتی.