سلام، این دو راه حل را با هم مقایسه کنید، چرا یکسان نیستند؟
$ \int \frac{dx}{x\sqrt{ 1-(\ln x)^2}}=? $
با تغییر متغیر
$ \ln x=u $
$\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\sin^{-1}(\ln x)+c $
با تغییر متغیر
$(\ln x)^2=u $
$$2 \frac{dx}{x}\ln x=du \Rightarrow \frac{dx}{x}= \frac{du}{2\sqrt{u}}\Rightarrow \int \frac{dx}{x\sqrt{ 1-(\ln x)^2}}= \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{u-u^2}} $$
با مربع کامل کردن زیر رادیکال به انتگرال زیر میرسیم
$$ \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{ \frac{1}{4} -(u- \frac{1}{2})^2 }} $$
اگر $t=u- \frac{1}{2} $
$$ \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{ \frac{1}{4}-t^2 }} = \frac{1}{2} \sin^{-1}2t+c= \frac{1}{2} \sin^{-1}(2u-1)+c= \frac{1}{2} \sin^{-1}(2(\ln x)^2-1)+c$$
چرا جواب ها یکسان نیست؟
یا عبارتی برای
$\sin^{-1}(a-b)$
وجود دارد که در نهایت دو جواب را یکسان می کند؟
