جمع رادیکال مساحت های مثلثهای متشابه

Question

نقطه‌ی O ، نقطه‌ای دلخواه داخل مثلث ABC مطابق شکل است. ثابت کنید : $ \sqrt{ S_{1} } + \sqrt{ S_{2} } + \sqrt{ S_{3} } = \sqrt{ S_{ABC} } $

Answer 1

فرض کنیم $ a_1 $ قاعده مثلث اول ، $a_2 $ قاعده مثلث دوم و $ a_3 $ قاعده مثلث سوم باشد و همچنین $ a $ قاعده مثلث بزرگ باشند.

با توجه به‌ اطلاعات موجود در مثلث داریم: $$ a_1+a_2+a_3=a $$

پس:

$$ \frac{a_1}{a}+\frac{a_2}{a}+\frac{a_3}{a}=1 $$

پس:

$$ \sqrt{\frac{a_1^2}{a^2}}+\sqrt{\frac{a_2^2}{a^2}} +\sqrt{ \frac{a_3^2}{a^2}}=1 $$

داریم که نسبت تشابه مساحت دو مثلث ، مجذور نسبت اضلاع آن است. پس:

$$ \sqrt{\frac{S_1}{S}}+\sqrt{\frac{S_2}{S}} +\sqrt{ \frac{S_3}{S}}=1 $$

در نتیجه:

$$ \sqrt{S_1}+\sqrt{S_2} +\sqrt{S_3}=\sqrt{S} $$

Comments

با سلام
مرسی از جواب مختصر و مفیدتان
(نکته اصلی استفاده از تشابه مثلث ها می باشد.)