فرض کنیم $ a_1 $ قاعده مثلث اول ، $a_2 $ قاعده مثلث دوم و $ a_3 $ قاعده مثلث سوم باشد و همچنین $ a $ قاعده مثلث بزرگ باشند.
با توجه به اطلاعات موجود در مثلث داریم:
$$ a_1+a_2+a_3=a $$
پس:
$$ \frac{a_1}{a}+\frac{a_2}{a}+\frac{a_3}{a}=1 $$
پس:
$$ \sqrt{\frac{a_1^2}{a^2}}+\sqrt{\frac{a_2^2}{a^2}} +\sqrt{ \frac{a_3^2}{a^2}}=1 $$
داریم که نسبت تشابه مساحت دو مثلث ، مجذور نسبت اضلاع آن است. پس:
$$ \sqrt{\frac{S_1}{S}}+\sqrt{\frac{S_2}{S}} +\sqrt{ \frac{S_3}{S}}=1 $$
در نتیجه:
$$ \sqrt{S_1}+\sqrt{S_2} +\sqrt{S_3}=\sqrt{S} $$
