1) اگر عدد ۷رقمی ما را $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7}$ بنویسیم و هر رقم $d$ بهتعداد $k_d$ بار تکرار شده باشد،
تعداد تمام جایگشتهای متمایز این هفت رقم برابر است با
$$N=\frac{7!}{\prod_d k_d!}$$
2) طبق صورت سؤال باید $$N=210$$ باشد؛ بنابراین
$$\prod_d k_d!=\frac{7!}{210}= \frac{5040}{210}=24$$
باید تعدادی $k_d$ بیابیم که حاصلضرب فاکتوریلشان $24$ و جمعشان $7$ باشد.
3) تجزیههای ممکن برای $24$ (بهصورت $\prod k_d!$) و مجموع $k_d$ها:
| الگوی تکرار |
حاصلضرب فاکتوریلها |
جمع $k_d$ها |
| $4,1,1,1$ |
$4! = 24$ |
$7$ |
| $3,2,2$ |
$3!\,2!\,2!=6\!\times\!2\!\times\!2=24$ |
$7$ |
هیچ الگوی دیگری پاسخگو نیست (ترکیبهایی مثل $5,1,1$ یا $2,2,2,1$ حاصلضرب $24$ نمیدهند).
4) کوچکترین عدد برای هر الگو:
الف) الگوی $4,1,1,1$: کوچکترین رقم را چهار بار تکرار میکنیم (یعنی $1$) و سه رقم بعدی را بهترتیب $2,3,4$ میگیریم؛ بنابراین
$$1111234$$
ب) الگوی $3,2,2$: سه بار $1$، دو بار $2$ و دو بار $3$ میدهد عدد
$$1112233$$
مقایسه: $1111234 < 1112233$، پس تا اینجا $1111234$ کوچکتر است.
5) آیا میتوان از رقم $0$ استفاده کرد؟
اگر $0$ داخل رقمها باشد، جایگشتهایی که با $0$ شروع میشوند حذف میشوند و دیگر $N=210$ نخواهد بود. به عنوان مثال در الگوی $4,1,1,1$ اگر رقمهای ما $0,1,1,1,1,2,3$ باشد:
• کل جایگشتها همچنان $210$ است.
• جایگشتهای نامعتبر (شروعشده با $0$): $$\frac{6!}{4!}=30$$
• جایگشتهای معتبر: $210-30=180<210$.
بنابراین وجود $0$ با هیچ ترکیبی به $210$ جایگشت معتبر منجر نمیشود.
6) نتیجهگیری:
$$\boxed{1111234}$$
کوچکترین عدد ۷رقمیای است که دقیقاً میتوان $210$ عدد ۷رقمی متمایز با جایگشت ارقامش ساخت.
