ساخت پنج عدد دو رقمی به طوریکه حاصلضرب آنها بیشترین مقدار ممکن شود؟

Question

می خواهیم با استفاده از ارقام 0 تا 9 پنج عدد دو رقمی بسازیم طوری که از هر رقم یک بار استفاده شود. این اعداد را چه طور بسازیم که ضرب آن‌ها بیشترین مقدار ممکن شود؟

Answer 1

برای حل سوال اعداد را بصورت $a_{3} b_{3} $، $a_{2} b_{2} $، $a_{1} b_{1} $ ، $a_{4} b_{4} $ و$a_{5} b_{5} $ در نظر میگیریم لذا باتوجه به اینکه $a_{1} b_{1} =10a_{1}+b_{1}$ داریم:

$$(a_{1} b_{1}) (a_{2} b_{2}) (a_{3} b_{3}) (a_{4} b_{4}) (a_{5} b_{5}) =$$ $$(10a_{1}+b_{1} )(10a_{2}+b_{2} )(10a_{3}+b_{3} )(10a_{4}+b_{4} )(10a_{5}+b_{5} ) $$ $$ 10^{5} (a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5})+10^{4} (a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}b_{5})+10^{4} (a_{1}a_{2}a_{3}b_{4}a_{5})$$ $$+...+10^{4} (b_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5})+..+ (b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5})$$ میخواهیم این حاصلضرب بیشینه باشد از آنجایی که ضریب $(a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5})$ برابر $10^{5}$ است باید $ a_{i} $ها را ماکزیمم یعنی $9,8,7,6,5$ بگیریم بدون کاستن از کلیت میتوان فرض کرد $ a_{1}=9 $ و..و$a_{5}=5$ حال برای تعیین $b_{i}$ها چون ضریب جملات بعدی همگی $ 10^{4} $ است و در بین جملات جمله ای که $(a_{1}a_{2}a_{3}a_{4})$ را دارد بزرگتر است پس $ b_{5} $ را بزرگترین عدد در میان اعداد باقیمانده میگیریم تا عدد بزرگتر شود و با ادامه همین روند $b_{5}=4$ و ...و$b_{1}=0$

Answer 2

اگر اعداد دورقمی به صورت $ab$ فرض کنیم در اینصورت واضح است وقتی ضرب آنها بیشترین مقدار ممکن می شود که رقم دهگان آنها یعنی $a$ را بزرگترین اعداد در نظر بگیریم یعنی $9,8,7,6,5$ . حال باید دقت کنید چنانچه عدد $ab$ در $a'b'$ ضرب شود داریم: $ab\times a'b'=(10a+b)(10a'+b')=100aa'+10ab'+10a'b+bb'$ همانطور که میبینید $a$ در $b$ ضرب نمی شود پس بهتر است رقم دوم را کوچکترین عدد موجود در $4,3,2,1,0$ انتخاب کنیم. یعنی اگر $a=9$ باشد $b$ را برابر صفر انتخاب کنیم و به همین ترتیب $a=8$ آنگاه $b$ را برابر $1$ انتخاب کنیم و به همین ترتیب الی آخر...

در اینصورت اعداد مورد نظر عبارت اند از $90,81,72,63,54$

Comments

اینجا که گفتید بهتر است که  رقم دوم را کوچکترین عدد موجود انتخاب کنبد را میشه بهتر توضیح دهید.در ضمن عدد $65$ رو باید$63$ مینوشتی

---

@erfanm
ممنون برای تذکرت. درستش کردم.
ما میخواهیم حاصلضرب $ab\times a'b'$ بیشترین مقدار شود. وقتی این دو عدد را در هم ضرب کنیم میبینیم که $a$ در $a',b'$ ضرب می شود ولی در $b$ ضرب نمی شود پس $b$ را کمترین انتخاب می کنیم. برای اینکه بهتر متوجه بشید که چرا بین اعداد $9b$ و $8b'$ بهتر است $b$ را برابر $0$ و $b'$ را برابر $1$ انتخاب کنیم کافی است ببینید که آیا $90\times 81$ بزرگتر است یا $91\times 80$ ?