به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
162 بازدید
در دبیرستان توسط کیوان عباس زاده

چند عدد $n$ رقمی با ارقام $3,5,7$ می توان نوشت که مضرب 3 باشند ؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده
انتخاب شده توسط کیوان عباس زاده
 
بهترین پاسخ

فرض کنیم می خواهیم عددی $n$ رقمی با ارقام $3,5,7$ بسازیم که مضرب $3 $ باشد . این کار را به $2$ مرحله تجزیه می کنیم :

مرحله اول : پر کردن رقم اول تا رقم $n-1$ ام .

مرحله دوم : پر کردن رقم $n$ ام .

مرحله اول را می توان به $3 ^{n-1}$ طریق انجام داد . زیرا هریک از ارقام اول تا $n-1$ ام را می توان به $3$ طریق با ارقام $3,5,7$ پر کرد . حال باید به جای رقم $n $ رقمی را قرار داد تا عدد $n $ رقمی حاصل مضرب $3 $ شود . اما می دانیم عددی بر $3 $ بخش پذیر است که مجموع ارقامش مضرب 3 باشد . بعد از انجام مرحله اول یعنی پر کردن رقم اول تا رقم $n-1$ ام , مجموع ارقام اول تا $n-1$ ام $3$ حالت دارد :

حالت اول : اگر مجموع این ارقام مضرب 3 بود کافی است به جای رقم $n$ ام 3 قرار دهیم .

حالت دوم : اگر باقی مانده تقسیم مجموع این ارقام بر $1 , 3$ بود کافی است به جای رقم $n $ ام $5$ قرار دهیم .

حالت سوم : اگر باقی مانده تقسیم مجموع این ارقام بر $2 , 3$ بود کافی است به جای رقم $n $ ام $7$ قرار دهیم .

پس مرحله $n$ ام در هر صورت به $1$ طریق قابل انجام است . پس کل کار طبق اصل ضرب به $3^{n-1} \times 1 =3^{n-1} $ طریق قابل انجام است . بنابراین تعداد اعداد$n $ رقمی با ارقام $3,5,7 $ که مضرب $3$ هستند $3^{n-1}$ است .

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...