فرض کنیم می خواهیم عددی $n$ رقمی با ارقام $3,5,7$ بسازیم که مضرب $3 $ باشد . این کار را به $2$ مرحله تجزیه می کنیم :
مرحله اول : پر کردن رقم اول تا رقم $n-1$ ام .
مرحله دوم : پر کردن رقم $n$ ام .
مرحله اول را می توان به $3 ^{n-1}$ طریق انجام داد . زیرا هریک از ارقام اول تا $n-1$ ام را می توان به $3$ طریق با ارقام $3,5,7$ پر کرد . حال باید به جای رقم $n $ رقمی را قرار داد تا عدد $n $ رقمی حاصل مضرب $3 $ شود . اما می دانیم عددی بر $3 $ بخش پذیر است که مجموع ارقامش مضرب 3 باشد . بعد از انجام مرحله اول یعنی پر کردن رقم اول تا رقم $n-1$ ام , مجموع ارقام اول تا $n-1$ ام $3$ حالت دارد :
حالت اول : اگر مجموع این ارقام مضرب 3 بود کافی است به جای رقم $n$ ام 3 قرار دهیم .
حالت دوم : اگر باقی مانده تقسیم مجموع این ارقام بر $1 , 3$ بود کافی است به جای رقم $n $ ام $5$ قرار دهیم .
حالت سوم : اگر باقی مانده تقسیم مجموع این ارقام بر $2 , 3$ بود کافی است به جای رقم $n $ ام $7$ قرار دهیم .
پس مرحله $n$ ام در هر صورت به $1$ طریق قابل انجام است . پس کل کار طبق اصل ضرب به $3^{n-1} \times 1 =3^{n-1} $ طریق قابل انجام است . بنابراین تعداد اعداد$n $ رقمی با ارقام $3,5,7 $ که مضرب $3$ هستند $3^{n-1}$ است .
