اول فرض کنید نقاط داده شده رأسهای مثلث اولیه نباشند.مثلث در حالات زیر با این نقاط درست میشود:
1) دو نقطه روی یک ضلع و نقطهای روی یکی از دو ضلع دیگر.در این حالت تعداد برابر است با:
$$ \binom{m}{2}.\binom{n}{1}.\binom{r}{1}+\binom{n}{2}.\binom{m}{1}. \binom{r}{1}+\binom{r}{2}.\binom{m}{1}. \binom{n}{1}$$
2) روی هر ضلع یک نقطه در این حالت تعداد برابر است با:
$$ \binom{m}{1}.\binom{n}{1}.\binom{r}{1}=mnr$$
3) اگر در هر ضلع نقطهها از چپ به راست یا از پایین به بالا نامگذاری شوند و نقطه شماره $k$ از $AB$ به نقطه شماره $s$ از $AC$ داده شده باشند و $(Y)X$ مجموعه نقاط روی $AB$ با شماره کمتر (بیشتر) از $k$ و $(W)Z$ مجموعه نقاط روی $AC$ با شماره کمتر (بیشتر) از $s$ باشد، آنگاه هر پاره خط رسم شده از $X$ و $BC$ به $W$ و هر پاره خط رسم شده از $Z$ و $BC$ به $Y$ $4$ مثلث میسازد که فقط رأسی از آن در داخل مثلث اولیه است.این تعداد مثلثها برابر است با:
$$4\sum_{AB,BC,AC}\sum_{k=1}^m \sum_{s=1}^r((n+k-1)(r-s)+(n+s-1)(m-k))$$
سیگما اول جایگشت دو تا سیگمای دیگر روی اضلاع است.
4) مشابه استدلال قبلی تعداد مثلثهایی که فقص دو رأس آنها داخل مثلث است برابر است با:
$$ \sum_{AB,BC,AC}\sum_{k=1}^m \sum_{s=1}^rn(m-k)(r-s)$$
5) تعداد مثلثهایی که هر سه رأس آنها در داخل مثلث است برابر است با مقدار جواب مسأله در حالت $m-1$، $n-1$ و $r-1$.
حالا اگر نقاط روی رأسها بیافتند فقط مقادیر نقاط ممکنه یک واحد کم شود. مثلن اگر $m=n=r=2$ و نقاط همگی روی رأسها باشند تعداد مثلثها $1$ است.
$\Box$
