$ \sum _ {i=0} ^ {n-1} x^{i} =x^{n} $ کوچک ترین بازه ای که میتوان به یقین گفت x متعلق به آن است کدام است؟

Question

اگر برای عدد حقیقی x و عدد طبیعی و دلخواه $n > 1$ داشته باشیم

$ \sum _ {i=0} ^ {n-1} x^{i} =x^{n} $

کوچک ترین بازه ای که می‌توان به یقین گفت x متعلق به آن است ؟

الف)$(2,2+ \frac{1}{n} )$

ب)$(2- \frac{1}{n} ,2+ \frac{1}{n} )$

ج)$(2- \frac{1}{n} ,2)$

د)$(2- \frac{2}{n} ,2)$

ه)$(2,2+ \frac{2}{n} )$

Answer 1

پاسخ کوتاه کوچک‌ترین بازه‌ی ممکن از بین گزینه‌ها
$ \bigl(2 - \tfrac{1}{n},\,2\bigr) $ یا همان گزینه‌ی «ج» است.

---

دلیل انتخاب معادله
$ \sum_{i=0}^{n-1}x^i \;=\; x^n $ را به صورت جمع هندسی بازنویسی کرده و ضرب‌در

$(x-1)$

می‌کنیم: $ \frac{x^n - 1}{x - 1} = x^n \quad\Longrightarrow\quad x^{n+1} - 2x^n + 1 = 0. $ تابع $ g(x) \;=\; x^{n+1} - 2x^n + 1 $ را در دو نقطه تست می‌کنیم:

1. در

x = 2 $ g(2) = 2^{n+1} - 2\cdot2^n + 1 = 1 > 0. $

2. در

$x = 2 - \tfrac{1}{n}$:
بنویسید

$h = \tfrac{1}{n}$

، آنگاه $ g(2 - h) = 1 \;-\; h\,(2 - h)^n. $ چون

$(2 - \tfrac1n)^n > n$

برای همه‌ی

$n>1$،

داریم $ g\bigl(2 - \tfrac1n\bigr) = 1 - \tfrac{1}{n}\,(2-\tfrac1n)^n < 1 - 1 = 0. $

از آنجا که

$g(2 - \tfrac1n)<0$ و $g(2)>0$،

ریشه‌ی یکتا در بازه

$\bigl(2-\tfrac1n,\,2\bigr)$

قرار دارد.

---

مقایسه با گزینه‌های دیگر - گزینه‌های با حدود بالاتر از $2 $

الف، ب، ه )فضای اضافی غیرضروری دارند.
- گزینه‌ی د عرض

$2/n $

دارد درحالی‌که عرض گزینه‌ی ج تنها

$1/n$

است.
- پس کوچک‌ترین و دقیق‌ترین بازه، گزینه‌ی ج است.