ثابت کنید هر 3 عدد متعلق به بازه [ 0 ,$\frac{4}{3}$] هستند .

Question

اگر $x+y+z=2$ و $xy+yz+zx=1$ باشد :

ثابت کنید هر 3 عدد متعلق به بازه [ 0 ,$\frac{4}{3}$] هستند .

راهنمایی : با جایگذاری نتیجه بگیرید $(y-1)^2=xz$ ، این تساوی نشان میدهد $x$ و $z$ هم علامتند به همین صورت میتوانیم نشان دهیم هر 3 عدد هم علامتند . پس هر 3 مثبتند . با جایگذاری مناسب یک متغیر و در نظر گرفتن دلتای یک معادله ی درجه 2 نشان دهید هر 3 کوچکتر از $ \frac{4}{3} $ هستند.

قسمت دوم راهنمایی رو متوجه نمیشم .

Comments

چرا می‌توانید نتیجه بگیرید که y نیز مثبت است؟! به طور قطع از روی برابری $(y-1)^2=xz$ به تنهایی نتیجه نمی‌شود.

---

وقتی نتیجه بگیریم هر 3 هم علامتند از آنجا که جمعشون برابر 2 شده میشه نتیجه گرفت هر 3 مثبتند یا یکیشون برابر صفر هست.

---

خب منظور من را نگرفتید.
تا اینجا که حاصلضرب xz باید مثبت شود تازه با فرض اینکه y مخالف یک باشد (پس باید نخست بیایید حالت $y=1$ را جداگانه بحث کنید و بگویید در این حالت یکی از x و z باید یک و دیگری صفر باشد که سه عدد یک و یک و صفر متعلق به بازهٔ یاد شده هستند و سپس بگویید حالا با فرض اینکه y یک نیست ادامه می‌دهم)، را قبول داریم چون اگر y یک نباشد، $(y-1)^2$ مثبت می‌شود. حالا از اینجا فقط و فقط می‌توانید نتیجه بگیرید که x و z هم‌علامت هستند. چگونه از $(y-1)^2=xz$ نتیجه می‌گیرید که y هم با x و z هم‌علامت است؟ اینجا باید چیز دیگری نیز استفاده کنید و گر نه یک‌ضرب و به همین راحتی نمی‌توانید ادعا کنید هر سه با هم هم‌علامت هستند.

---

خب پاسخ پرسشم را خودم گرفتم. چون این رابطهٔ $(y-1)^2=xz$ را با کمک دو رابطهٔ متقارن نسبت به متغیرها بدست‌آورده‌ایم پس همسان آن را می‌توان برای دو جایگشت دیگر از متغیرها نیز بنویسیم که یکی از آنها می‌شود $(z-1)^2=yx$ پس y و x نیز هم‌علامت هستند که اگر آن را کنار یافتهٔ پیشینمان بگذاریم هر سه هم‌علامت می‌شوند.

Answer 1

معادله اول را به توان دو می رسانیم داریم

$ (x+y+z)^{2}= x^{2} + y^{2} + z^{2} +2xy+2xz+2yz $

پس

$4=x^{2} + y^{2} + z^{2}+2$

درنتیجه

$ x^{2} + y^{2} + z^{2}=2 $

از طرفی معادلات اول و دوم را می توان به فرم زیر نوشت

$y+z=2-x$

$yz+x(y+z)=1$

پس $yz=1-x(2-x)=1-2x+ x^{2}= (x-1)^{2} $ از طرفی بنا به نامساوی واسطه ها داریم $y+z \geq 2 \sqrt{yz} $ پس $2-x \geq 2 \sqrt{yz} $ یعنی $ (2-x)^{2} \geq4yz $ پس $4 (x-1)^{2} \leq 4-4x+ x^{2} $ بنابراین $3 x^{2} -4x \leq 0$ پس $x \in [0, \frac{4}{3} ]$ به همین ترتیب مابقی ثابت می شود.در ضمن از مراحل راه حل معلوم است که متغیرها مثبت اند و استفاده از نامساوی واسطه ها بلااشکال است.