Question

فرض میکنیم x,y اعداد مثبت باشند،

اگر S کوچک ترین عدد بین اعداد زیر باشد:

$ x$, $\frac{1}{y}$ ,$y+ \frac{1}{x} $

ماکزیمم S کدام است؟

a)2 2+$ \sqrt{2}$(b $\frac{ \sqrt{2} }{2} $(c $ \sqrt{2} $ (d e)1

Comments

خواهشا سوال رو مفهوم تایپ کنید. مشخص نیست صورت سوال

Answer 1

پاسخ کوتاه

ماکزیمم مقدار

$S$

برابر است با

$\sqrt{2}$

---

شرح گام‌به‌گام

برای بیشینه کردن $ S = \min\bigl(x,\;\tfrac1y,\;y + \tfrac1x\bigr) $ باید سه عبارت زیر هم‌ارز باشند تا کوچک‌ترین عضو به بیشینه برسد:

1. $x = \tfrac1y $

2.$x = y + \tfrac1x$

از

$x = \tfrac1y$

داریم

$y = \tfrac1x$ قرار دادن آن در

$x = y + \tfrac1x$

می‌دهد: $ x = \tfrac1x + \tfrac1x = \tfrac{2}{x} \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt{2}. $ در نتیجه

$y = 1/x = 1/\sqrt{2}$

و مقدار مشترک همه عبارات $ x = \tfrac1y = y + \tfrac1x = \sqrt{2} $ است.

---

نکات فرامتنی و تعمیم‌ها

• این روش «برابرسازی» یکی از تکنیک‌های استاندارد برای مسائل (\max\min) است که در مسائل بهینه‌سازی و نظریه بازی‌ها کاربرد دارد.
• اگر بخواهیم به مسائل مشابه با چند تابع پیچیده‌تر گسترش بدهیم، ایده این است که نقطه بهینه‌‌ جایی است که تابعی که کمینه را می‌سازد دست‌کم با یک تابع دیگر برابر شود.
• مثال تاریخی: روش لگرانژ در بهینه‌سازی محدودیت‌دار درواقع همین اصل تعادل شرایط را به شکل جبری پیاده می‌کند.
• در حوزه شبکه و تخصیص منابع، «عدالت بیشینه» (max–min fairness) نیز بر همین مبنا تعریف می‌شود که کوچک‌ترین تخصیص به حداکثر برسد.

---