ضرب تانسوری مدول های باتولید متناهی

Question

اگر $R$یک حلقه جابه جایی ویکدار و$M$و$N$دو$R$مدول باتولید متناهی باشندنشان دهید$M \bigotimes N=0$اگرو تنهااگر $Ann(M)+Ann(N)=R$

Answer 1

فرض کنید که $R=Ann(M)+Ann(N) $ چون $1 \in R $ پس میتوان$1$ را بصورت $1=m+n $نوشت که در آن $m \in M $ و$n \in N $ .به ازای هر عنصر بصورت $x \otimes y $ در $ M \otimes N $ داریم: $$ x \otimes y =1x \otimes y =(m+n)x \otimes y =$$ $$mx \otimes y +nx \otimes y =(mx) \otimes y +x \otimes (ny) =0+0=0 $$ پس در این حالت حکم ثابت شد .