از اینکه $R $ متناهی است نتیجه میگیریم که آرتینی چپ است( لذا $J(R) $ یک ایده آل پوچتوان است و چون تنها صفر پوچتوان است لذا $ J(R)=0 $ اما $rad(R) \subseteq J(R)=0$) و در حلقه های آرتینی حلقه نیمه ساده است اگروتنها اگر $rad(R)=0$
پس در اینجا حلقه نیمه ساده خواهد بود.
همچنین هر حلقه نیمه ساده با ضرب دکارتی تعداد متناهی میدان یکریخت است و این حکم را ثابت می کند.
اثبات $rad(R)=0$ آنگاه حلقه نیمه ساده است:
از آنجایی که $ R $ آرتینی است لذا داریم $ R= \bigcap_{i=1}^t m_{i} $ که در آن
$ m_{i} $ها ایده آلهای ماکسیمال هستند.(در غیر این صورت یک زنجیر نزولی به صورت $m_{1} \supseteq m_{1} \bigcap m_{2} \supseteq ... $ خواهیم داشت که تناقض است).
نگاشت $ R \rightarrow \bigoplus_{i} \frac{R}{m_{i}} $ یک به یک خواهد بود چون هسته آن برابر است با
$ \bigcap_i m_{i}=rad(R)=0 $ اما هر $\frac{R}{m_{i}} $ ساده است چون $ m_{i} $ ها ماکسیمال هستند. پس $ R$ با یک زیرمدول یک مدول نیمه ساده یکریخت خواهد شد لذا نیمه ساده است.
اثبات همچنین هر حلقه نیمه ساده با ضرب دکارتی تعداد متناهی میدان یکریخت است:
با توجه به قضیه $Wedderburn–Artin$ از اینکه حلقه نیمه ساده است لذا با حاصلضرب حلقه های ماتریسی رو حلقه ی تقسیم یکریخت است اما از آنجایی که حلقه جابجایی است تمام حلقه های ماتریسی باید $1 \times 1$و تمام حلقه های تقسیم میدان باشند.
