از آنجایی که$ P $ و $ Q $ تصویری ومتناهی المولد هستند لذا $ R $ مدولهای آزاد و متناهی المولد مانند $ F $و$F^{'} $ و $R $مدولهایی مانند $ K $و$ K^{'} $ موجودند که $ F \cong_{R}P \oplus K $ و$ F^{'} \cong_{R} Q \oplus K^{'} $
$Hom(F,F^{'})$ آزاد و متناهی مولد است و داریم:
$$Hom(F,F^{'})=Hom(P \oplus K,Q \oplus K^{'}) \cong Hom(P,Q) \oplus Hom( K,Q) \oplus Hom(P, K^{'}) \oplus Hom( K, K^{'})$$
پس Hom(P,Q) یک جمعوند مستقیم یک $R $ مدول آزاد و متناهی المولد است. پس تصویری و متناهی المولد است.
