فرض کنید$P$و$Q$مدولهایی تصویری و با تولید متناهی باشند ثابت کنید$Hom(P,Q)$تصویری و با تولید متناهی است

Question

فرض کنیدRحلقه ای جابجایی بوده و $P$و $Q$، $R$_مدولهایی تصویری و با تولید متناهی باشند ثابت کنید$Hom(P,Q)$تصویری و با تولید متناهی است

فرض کنیدR$P$و$Q$مدولهایی تصویری و با تولید متناهی باشند ثابت کنید$Hom(P,Q)$تصویری و با تولید متناهی است

Comments

دوست گرامی برای سوالات عنوان مناسبی رو انتخاب کنید تا اگر شخصی همین سوال شما را داشت به راحتی آن را پیدا نماید برای اینکار بهترین عنوان همان متن سوال است.

در ضمن برای نوشتن فرمولهای ریاضی ابتدا روی دکمه ریاضی(قرمز رنگ بالای کادر متن سوال) کلیک کنید سپس فرمول را درون آن بنویسید.
شما برای این سوال برچسب آنالیز حقیقی را انتخاب کرده بودید!!!
اگر کسی دنبال سوالات جبر پیشرفته تو سایت باشه هرگز نمیتونست این سوال رو ببینه چون جزو سوالات آنالیز دسته بندی می شد.
لطفا در طرح سوال دقت نمایید.

Answer 1

از آنجایی که$P$ و $Q$ تصویری ومتناهی المولد هستند لذا $R$ مدولهای آزاد و متناهی المولد مانند $F$و$F^{'}$ و $R$مدولهایی مانند $K$و$K^{'}$ موجودند که $F \cong_{R}P ‎\oplus‎ K$ و$F^{'} \cong_{R} Q‎ \oplus K^{'}$

$Hom(F,F^{'})$ آزاد و متناهی مولد است و داریم:

$$Hom(F,F^{'})=Hom(P ‎\oplus‎ K,Q \oplus‎ K^{'}) \cong Hom(P,Q) ‎\oplus Hom(‎ K,Q) ‎‎\oplus Hom(P, K^{'}) \oplus Hom(‎ K,‎ K^{'})$$

پس Hom(P,Q) یک جمعوند مستقیم یک $R$ مدول آزاد و متناهی المولد است. پس تصویری و متناهی المولد است.