Question

نیم دایره به قطر AB فرض کنید و نقطه E روی قطر به‌گونه‌ای قرار دارد که AE=3 و نقاط Cو D روی نیم دایره به نحوی قرار دارد که EC=4 و ED=6 در صورتی که DC موازی AB باشد مطلوب است محاسبه مقدار? =EB

Answer 1

1. فهم مسئله و رسم شکل

· یک نیم‌دایره با قطر AB داریم. · نقطه E روی AB است به‌طوری‌که AE = 3 . · نقاط C و D روی نیم‌دایره هستند. · EC = 4 و ED = 6 . ·$ DC \parallel AB$ (یعنی DC موازی AB است). · باید EB را پیدا کنیم.

---

2. قراردادن مختصات

برای سادگی، نیم‌دایره را به صورت زیر در دستگاه مختصات قرار می‌دهیم:

· مرکز دایره O = (0,0) و شعاع R . · قطر AB روی محور x است: A = (-R, 0) , B = (R, 0) . · نقطه E روی AB با AE = 3 : طول AB = 2R است. AE = 3 یعنی فاصله از A تا E برابر ۳ است. $ E = (-R + 3, 0) .$

---

3. شرط $ DC \parallel AB $

   DC موازی AB یعنی DC افقی است. پس C و D روی نیم‌دایره و دارای عرض (y) یکسان هستند.

معادله نیم‌دایره:

$x^2 + y^2 = R^2$,$ \quad y \ge 0.$

اگر y = h(ثابت) برای هر دو نقطه C و D ، آنگاه

$x^2 + h^2 = R^2 \implies $x =$ \pm \sqrt{R^2 - h^2}.$

بنابراین C و D به صورت:

$C = \left(-\sqrt{R^2 - h^2}, h\right)$,$ \quad D = \left(+\sqrt{R^2 - h^2}, h\right)$

یا برعکس، اما ترتیب مهم نیست چون EC و ED طول‌های داده شده هستند.

---

4. استفاده از فاصله‌های EC و ED

   $E = (-R + 3, 0) .$

فاصله EC :

فرض کنیم $ C = (-\sqrt{R^2 - h^2}, h) .$

$EC^2 = \left[-\sqrt{R^2 - h^2} - (-R + 3)\right]^2 + h^2$

$= \left[-\sqrt{R^2 - h^2} + R - 3\right]^2 + h^2$

داده: $ EC = 4 $→$ EC^2 = 16 $.

---

فاصله ED :

$D = (\sqrt{R^2 - h^2}, h) .$

$ED^2 = \left[\sqrt{R^2 - h^2} - (-R + 3)\right]^2 + h^2$

$= \left[\sqrt{R^2 - h^2} + R - 3\right]^2 + h^2$

داده: $ED = 6 $ → $ ED^2 = 36 .$

---

5. تفاضل دو معادله

معادله اول:

$\left(R - 3 - \sqrt{R^2 - h^2}\right)^2 + h^2 = 16$

معادله دوم:

$\left(R - 3 + \sqrt{R^2 - h^2}\right)^2 + h^2 = 36$

دومی را منهای اولی کنیم:

$\left[ (R-3) + k \right]^2 - \left[ (R-3) - k \right]^2 = 20$

که $k = \sqrt{R^2 - h^2} $.

فرمول:$ (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ . پس:

$4 (R-3) k = 20 \implies (R-3) k = 5.$

$k = \frac{5}{R-3}.$

---

6. جایگذاری k در یکی از معادلات

از معادله اول:

$\left(R - 3 - k\right)^2 + h^2 = 16$

ولی $h^2 = R^2 - k^2 .$

پس:

$(R-3-k)^2 + R^2 - k^2 = 16.$

$(R-3)^2 - 2k(R-3) + k^2 + R^2 - k^2 = 16$

$(R-3)^2 - 2k(R-3) + R^2 = 16.$

از $ k(R-3) = 5 $داریم $ 2k(R-3) = 10 .$

پس:

$(R-3)^2 - 10 + R^2 = 16$

$R^2 - 6R + 9 - 10 + R^2 = 16$

$2R^2 - 6R - 1 = 16$

$2R^2 - 6R - 17 = 0$

$R^2 - 3R - 8.5 = 0$

$R = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 34}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{43}}{2}.$

$R > 0 → R = \frac{3 + \sqrt{43}}{2} .$

---

7. محاسبه EB

   $EB = AB - AE = 2R - 3 .$

$EB = 2 \cdot \frac{3 + \sqrt{43}}{2} - 3 = 3 + \sqrt{43} - 3 = \sqrt{43}.$

---

پاسخ نهایی:

$\boxed{\sqrt{43}}$

این مقدار EB است.