گام نخست محاسبهٔ هستهٔ Peano است (واژهٔ Peano نامخانوادگی یک ریاضیدان است). چون چیزی در مورد روش سههشتم سیمپسون مشخص نکردهاید، فرض را بر این میگیرم که بر روی یک بازهٔ $[a,b]$ دلخواه ولی با یک بخشبندی منظورتان است. پس فرمول انتگرال عددیتان برابر میشود با
$$\begin{array}{ll}
I_a^b(f) & =\Big(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\Big)\frac{3h}{8}\\
& =\Big(f(a)+3f(a+\tfrac{b-a}{3})+3f(a+2\tfrac{b-a}{3})+f(b)\Big)\frac{3}{8}\frac{b-a}{3}
\end{array}$$
در طول این پاسخ تمام سادهسازیهای جزئی را خودتان انجام دهید. بعلاوه ما از نمادگذاری indicator function که احتمالا چیزی شبیه تابع مشخصه یا تابع عضویت در فارسی ترجمه شود استفاده میکنیم. تابع $\chi_A(x)$ زمانی که $x\in A$ مقدار یک میدهد و در غیر اینصورت مقدار صفر.
درجهٔ دقت این روش (degree of precision/ accuracy) برابر با ۳ است یعنی برای چندجملهایهای حداکثر از درجهٔ ۳ همیشه دقیق است (درجهٔ دقت دستور سههشتم سیمپسون با درجهٔ دقت دستور سیمپسون معمولی یکسان است - البته به این معنی نیست که دقتشان/ خطایشان یکسان است - ). پس هستهٔ Peano برابر است با
$$K(t)=\frac{1}{3!}\Big(I_a^b\big(\chi_{[0,+\infty)}\big((x-t)^3\big)\big)-\int_a^b\chi_{[0,+\infty)}\big((x-t)^3\big)dx\Big)$$
برای محاسبهٔ عبارت داخل پرانتز دقت کنید که
$$\begin{array}{lll}
\chi_{[0,+\infty)}\big((x-t)^3\big)\neq 0 & \Leftrightarrow & (x-t)^3\nless 0\\
& \Leftrightarrow & x-t\geq 0\\
& \Leftrightarrow & x\geq t
\end{array}$$
نخست انتگرال دقیق را مییابیم
$$\begin{array}{ll}
\int_a^b\chi_{[0,+\infty)}\big((x-t)^3\big)dx & =\int_{\min\lbrace\max\lbrace a,t\rbrace,b\rbrace}^b(x-t)^3dx\\
& =\left.\tfrac{1}{4}(x-t)^4\right]_{\min\lbrace\max\lbrace a,t\rbrace,b\rbrace}^b\\
& =\left\lbrace\begin{array}{ll}
0 & ; b < t\\
\tfrac{1}{4}(b-t)^4-\tfrac{1}{4}(t-t)^4 & ; a < t \leq b\\
\tfrac{1}{4}(b-t)^4-\tfrac{1}{4}(a-t)^4 & ; t \leq a
\end{array}\right.
\end{array}$$
اکنون یکی از چهار جمعوند جمع مربوط به انتگرال عددیمان
$$\chi_{[0,+\infty)}\big((a-t)^3\big)=\left\lbrace\begin{array}{ll}
0 & ; a < t\\
(a-t)^3 & ; t\leq a
\end{array}\right.$$
سه جمعوند دیگر نیز به طور مشابه دوضابطهای هستند. و در نهایت داریم
$$K(t)=\left\lbrace\begin{array}{ll}
0 & ; b<t\\
\tfrac{b-a}{8}(b-t)^3-\big((\tfrac{1}{2}b^2-bt)-\tfrac{1}{4}(b-t)^4 & ; a+2\tfrac{b-a}{3}<t\leq b\\
\tfrac{b-a}{8}\big(3(a+2\tfrac{b-a}{3}-t)^3+(b-t)^3\big)-\tfrac{1}{4}(b-t)^4 & ; a+\tfrac{b-a}{3}<t\leq a+2\tfrac{b-a}{3}\\
\tfrac{b-a}{8}\big(3(a+\tfrac{b-a}{3}-t)^3+3(a+2\tfrac{b-a}{3}-t)^3+(b-t)^3\big) & \\
-\tfrac{1}{4}(b-t)^4 & ; a<t\leq a+\tfrac{b-a}{3}\\
\tfrac{b-a}{8}\big((a-t)^3+3(a+\tfrac{b-a}{3}-t)^3+3(a+2\tfrac{b-a}{3}-t)^3 & \\
+(b-t)^3\big)-\tfrac{1}{4}\big((b-t)^4-(a-t)^4\big) & ; t\leq a
\end{array}\right.$$
اکنون برای هر تابع دارای مشتق چهارم پیوسته بر $[a,b]$ مانند $f$ خطای انتگرال عددیمان برابر میشود با
$$\int_a^bf^{(4)}(x)K(x)dx$$
که چون تابع خاصی را در پرسش مشخص نکردهاید چیزی بیشتر از این نمیتوان گفت.
