قرار دهید:
$$x:=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{b}{c}$$
از اینکه نیمساز به نسبت اضلاع مجاور ضلع روبرو را قسمت می کند داریم:
$$ \overline{D'C}=\overline{D'B}+\overline{DB}+\overline{DC}=\overline{DB}+2\overline{DC}$$
$$ \Rightarrow \frac{ab}{b-c}=\frac{ac}{b+c}+\frac{2ab}{b+c}$$
$$ \Rightarrow \frac{b}{b-c}=\frac{c}{b+c}+\frac{2b}{b+c}$$
$$ \Rightarrow \frac{\frac{b}{c}}{ \frac{b}{c}-1}=\frac{1}{ \frac{b}{c}+1}+\frac{2\frac{b}{c}}{ \frac{b}{c} +1}$$
$$ \Rightarrow \frac{x}{x-1}=\frac{1}{x+1}+\frac{2x}{x+1}$$
$$ \Rightarrow \frac{x}{x-1}=\frac{2x+1}{x+1}$$
$$ \Rightarrow (2x+1)(x-1)=x(x+1)$$
$$ \Rightarrow x^2-2x=1$$
$$ \Rightarrow x^2-2x+1=2$$
$$ \Rightarrow (x-1)^2=2$$
$$x=1^+_-\sqrt{2}$$
در اینجا چون $x>0$ پس باید:
$$x=1+\sqrt{2}$$
$\Box$
