رابطه زیر را اثبات کنید:

Question

$\displaystyle(\cos \frac{ \pi }{2n+1} )(\cos \frac{2 \pi }{2n+1})... (\cos \frac{n \pi }{2n+1})= \frac{1}{ 2^{n} }$

Answer 1

قرار دهید:

$$A:=sin\frac{\pi}{2n+1}.sin\frac{2\pi}{2n+1}...sin\frac{n\pi}{2n+1}$$

$$B:=cos\frac{\pi}{2n+1}.cos\frac{2\pi}{2n+1}...cos\frac{n\pi}{2n+1}$$

$$C:=sin\frac{\pi}{2n+1}.sin\frac{3\pi}{2n+1}...sin\frac{(2n-1)\pi}{2n+1}$$

$$D:=sin\frac{2\pi}{2n+1}.sin\frac{4\pi}{2n+1}...sin\frac{2n\pi}{2n+1}$$

$$E:=sin\frac{(n+1)\pi}{2n+1}.sin\frac{(n+2)\pi}{2n+1}...sin\frac{2n\pi}{2n+1}$$

حالا اگر $1 \leq k \leq n$ با توجه به اینکه $(2k-1)+2(n-k+1)=2n+1$ و $sin(\pi-x)=sinx$ داریم $C=D$ و با استدلالی مشابه $A=E$. از طرفی دیگر:

$$2^nAB=(2sin\frac{\pi}{2n+1}.cos\frac{\pi}{2n+1}).(2sin\frac{2\pi}{2n+1}.cos\frac{2\pi}{2n+1})...$$

$$.(2sin\frac{n\pi}{2n+1}.cos\frac{n\pi}{2n+1})$$

$$=sin\frac{2\pi}{2n+1}.sin\frac{4\pi}{2n+1}...sin\frac{2n\pi}{2n+1}$$

$$=C=D$$

$$ \Rightarrow (2^nAB)^2=C^2=CC=CD=AE=A^2$$

$$ \Rightarrow (2^nB)^2=1$$

$$ \Rightarrow 2^nB=1$$

$$ \Rightarrow B= \frac{1}{2^n} $$

$\Box$

Comments

با سلام و تشکر
متوجه نمی شوم که چطور .EA می تواند برابر A به توان 2 باشد! اگر می شود روابط پارامتری را بیشتر توضیح دهید .ضمناً ،آیا امکان حل این مساله با کمک اعداد مختلط وجود دارد؟

---

اگر ترتیب نوشتن عاملهای $CD$ را تغیر دهید به $AE$ می رسید و $A=E$ لذا با $A^2$ برابر است.