بله میشه به کمک ابزار قدرتمند جبر. همان ابزاری که نیوتون و لایب نیتس را به حساب دیفرانسیل و انتگرال و امروز ریاضیدانان را به شارش ریچی و مرزهای دستاوردهای مریم میرزاخانی رسانده است.
قرار دهید:
$$x:=sin \frac{\pi}{7} sin \frac{2\pi}{7} sin \frac{3\pi}{7},y:=cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}$$
$$ \Rightarrow 8xy=8sin \frac{\pi}{7} sin \frac{2\pi}{7} sin \frac{3\pi}{7}cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7}$$
$$=(2sin \frac{\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}).(2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}).(2sin \frac{3\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7})$$
$$=sin \frac{2\pi}{7}sin \frac{4\pi}{7}sin \frac{6\pi}{7}$$
$$=sin \frac{2\pi}{7}si(\pi- \frac{4\pi}{7})sin(\pi-\frac{6\pi}{7})$$
$$=sin \frac{2\pi}{7}sin \frac{3\pi}{7}sin \frac{\pi}{7}$$
$$=x$$
$$ \Rightarrow y= \frac{1}{8}$$
$$ \Rightarrow 16x^2=2(2sin^2\frac{\pi}{7})(2sin^2\frac{2\pi}{7})(2sin^2\frac{3\pi}{7})$$
$$=2(1-cos \frac{2\pi}{7})(1-cos \frac{4\pi}{7})(1-cos \frac{6\pi}{7})$$
$$=2(1-cos \frac{2\pi}{7})(1-cos(\pi-\frac{3\pi}{7}))(1-cos(\pi-\frac{1)\pi}{7}))$$
$$=2(1+cos \frac{\pi}{7})(1-cos \frac{2\pi}{7})(1+cos \frac{3\pi}{7})$$
$$=2+2cos \frac{\pi}{7}-2cos \frac{2\pi}{7}+2cos \frac{3\pi}{7}+2cos \frac{\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}$$
$$-2cos \frac{\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}-2cos \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}-2cos \frac{\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}$$
$$=\frac{7}{4}+2cos \frac{\pi}{7}-2cos \frac{2\pi}{7}+2cos \frac{3\pi}{7}+cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}$$
$$-cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{3\pi}{7}-cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{5\pi}{7}$$
$$=\frac{7}{4}+0=\frac{7}{4}$$
$$ \Rightarrow x^2=\frac{7}{64}$$
$$ \Rightarrow x= \frac{\sqrt{7}}{8}$$
حالت کلی: نشان میدهیم:
$$cos\frac{\pi}{2n+1}cos\frac{2\pi}{2n+1}...cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^n}$$
قرار دهید:
$$A:=sin\frac{\pi}{2n+1}.sin\frac{2\pi}{2n+1}...sin\frac{n\pi}{2n+1}$$
$$B:=cos\frac{\pi}{2n+1}.cos\frac{2\pi}{2n+1}...cos\frac{n\pi}{2n+1}$$
$$C:=sin\frac{\pi}{2n+1}.sin\frac{3\pi}{2n+1}...sin\frac{(2n-1)\pi}{2n+1}$$
$$D:=sin\frac{2\pi}{2n+1}.sin\frac{4\pi}{2n+1}...sin\frac{2n\pi}{2n+1}$$
$$E:=sin\frac{(n+1)\pi}{2n+1}.sin\frac{(n+2)\pi}{2n+1}...sin\frac{2n\pi}{2n+1}$$
حالا اگر $1 \leq k \leq n$ با توجه به اینکه $(2k-1)+2(n-k+1)=2n+1$ و $sin(\pi-x)=sinx$ داریم $C=D$ و با استدلالی مشابه $A=E$. از طرفی دیگر:
$$2^nAB=(2sin\frac{\pi}{2n+1}.cos\frac{\pi}{2n+1}).(2sin\frac{2\pi}{2n+1}.cos\frac{2\pi}{2n+1})...$$
$$.(2sin\frac{n\pi}{2n+1}.cos\frac{n\pi}{2n+1})$$
$$=sin\frac{2\pi}{2n+1}.sin\frac{4\pi}{2n+1}...sin\frac{2n\pi}{2n+1}$$
$$=C=D$$
$$ \Rightarrow (2^nAB)^2=CD=AE=A^2$$
$$ \Rightarrow (2^nB)^2=1$$
$$ \Rightarrow 2^nB=1$$
$$ \Rightarrow B= \frac{1}{2^n} $$
$\Box$
