بله میشه به کمک ابزار قدرتمند جبر. همان ابزاری که نیوتون و لایب نیتس را به حساب دیفرانسیل و انتگرال و امروز ریاضیدانان را به شارش ریچی و مرزهای دستاوردهای مریم میرزاخانی رسانده است.
قرار دهید:
$$x:=sin \frac{\pi}{7} sin \frac{2\pi}{7} sin \frac{3\pi}{7},y:=cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}$$
$$ \Rightarrow 8xy=8sin \frac{\pi}{7} sin \frac{2\pi}{7} sin \frac{3\pi}{7}cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7}$$
$$=(2sin \frac{\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}).(2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}).(2sin \frac{3\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7})$$
$$=sin \frac{2\pi}{7}sin \frac{4\pi}{7}sin \frac{6\pi}{7}$$
$$=sin \frac{2\pi}{7}si(\pi- \frac{4\pi}{7})sin(\pi-\frac{6\pi}{7})$$
$$=sin \frac{2\pi}{7}sin \frac{3\pi}{7}sin \frac{\pi}{7}$$
$$=x$$
$$ \Rightarrow y= \frac{1}{8}$$
$$ \Rightarrow 16x^2=2(2sin^2\frac{\pi}{7})(2sin^2\frac{2\pi}{7})(2sin^2\frac{3\pi}{7})$$
$$=2(1-cos \frac{2\pi}{7})(1-cos \frac{4\pi}{7})(1-cos \frac{6\pi}{7})$$
$$=2(1-cos \frac{2\pi}{7})(1-cos(\pi-\frac{3\pi}{7}))(1-cos(\pi-\frac{1)\pi}{7}))$$
$$=2(1+cos \frac{\pi}{7})(1-cos \frac{2\pi}{7})(1+cos \frac{3\pi}{7})$$
$$=2+2cos \frac{\pi}{7}-2cos \frac{2\pi}{7}+2cos \frac{3\pi}{7}+2cos \frac{\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}$$
$$-2cos \frac{\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}-2cos \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}-2cos \frac{\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}$$
$$=\frac{7}{4}+2cos \frac{\pi}{7}-2cos \frac{2\pi}{7}+2cos \frac{3\pi}{7}+cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}$$
$$-cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{3\pi}{7}-cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{5\pi}{7}$$
$$=\frac{7}{4}+0=\frac{7}{4}$$
$$ \Rightarrow x^2=\frac{7}{64}$$
$$ \Rightarrow x= \frac{\sqrt{7}}{8}$$
$\Box$
در انتهای استدلال از این فرمول استفاده شده است:
$$cos(A+B)+cos(A-B)=2cosA.cosB$$
