سوالی از اعداد مختلط

Question

اگر $w=\displaystyle \cos (\frac{2 \pi }{3}) +i.\sin( \frac{2 \pi }{3})$ باشد؛ آنگاه مقدار$ (1+w)^{n} $ را به دست آورید.

تلاش صورت گرفته: من سعی کردم با قضیه دموآر آنرا محاسبه کنم اما به نتیجه نرسیدم.

Answer 1

داریم:

$\displaystyle 1+w=1+(\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos(\frac{\pi}{3})+i\sin(\frac{\pi}{3})=e^{i\frac{\pi}{3}}$

پس مطلوب برابر است با:

$\displaystyle (1+w)^{n}=e^{ni\frac{\pi}{3}}=\cos(\frac{n\pi}{3})+i\sin(\frac{n\pi}{3})$