حل ب :
اینکه $ \frac{Bh}{Ch} = \frac{AB}{AC} $ قضیه ای در هندسه دو است)دومین قضیه) میتونید به این کتاب مراجعه نمایید اگر باز هم خواستید بفرمایید تا اثبات را قرار بدم.
اگر از راس$ A$ ارتفاع $AH $ را رسم کنیم این ارتفاع هم ارتفاع برای مثلث $ABH $ و هم برای $ ACH $ است و قاعده های این ارتفاع به ترتیب برابر هستند با $Bh $ و$ Ch $ پس نسبت مساحتها همان نسبت قاعده ها می شود(کافیست فرمول مساحت رو بنویسید)
حل الف:
اولین رابطه رو غلط نوشتید نباید $AB $و$AC $ توان داشته باشند. همچنین اگر در رابطه ی $ \frac{Bh}{Ch} = \frac{AB}{AC} $ که همان قضیه در هندسه دو است جمع در مخرج انجام دهیم داریم:
$ \frac{Bh}{Ch} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{Bh}{Ch+Bh} = \frac{AB}{AC+AB} \Rightarrow \frac{Bh}{a} = \frac{AB}{AC+AB}$
برای بدست آوردن رابطه ی بعدی کافیه به طور مشابه جمع در صورت را انجام دهیم اما اثبات اولین رابطه:
شاید راه حل ساده تری هم وجود داشته باشد اما این راه حل به ذهنم رسید.
ابتدا مساحت کل مثلث را از رابطه ی سینوسها ($S= \frac{1}{2}bcsin(2 \theta ) $)و سپس باز از همون رابطه اما این بار به صورت مجموع مساحت دو مثلث کوچک می نویسیم($S= \frac{1}{2}bAhsin( \theta )+ \frac{1}{2}Ahcsin( \theta )$) و برابر قرار می دهیم. خواهیم داشت:
$$Ahb+Ahc=2bccos( \theta )$$
حال برای هر مثلث کوچک قضیه کسینوسها رو می نویسیم:
$$\begin{cases} Bh^{2} = Ah^{2} + b^{2} -2Ahbcos( \theta ) \\Ch^{2} = Ah^{2} + c^{2} -2Ahccos( \theta ) \end{cases} $$ را جایگذاری کنیم پس از ساده سازی دو رابطه ی زیر را خواهیم داشت:
$$\begin{cases} Bh^{2} = b^{2} - Ah^{2} \frac{b}{c} \\Ch^{2} = c^{2} - Ah^{2} \frac{c}{b} \end{cases} $$
حال اگر طرفین را در هم ضرب کنیم پس از ساده سازی داریم:
$$ (BhCh)^{2} =(cb)^{2} -2bcAh^{2}+Ah^{4}=(bc-Ah^{2})^{2}$$
اگر از طرفین رادیکال بگیریم حکم ثابت می شود.
