به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
3,394 بازدید
در دبیرستان توسط asal4567

enter image description here

$=Ah$نیمساز

با توجه به شکل بالا:

ثابت کنید

الف$$ Ah^{2} = AB^{2}. AC^2-Bh.hC$$

$$Bh= \frac{ab}{b+c} ,hC= \frac{ac}{b+c} $$

ب$$ \frac{Bh}{Ch} = \frac{AB}{AC} = \frac{S_{ABh} }{ S_{ACh} } $$

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط saderi7

enter image description here

+1 امتیاز
توسط erfanm
ویرایش شده توسط fardina

حل ب :

اینکه $ \frac{Bh}{Ch} = \frac{AB}{AC} $ قضیه ای در هندسه دو است)دومین قضیه) میتونید به این کتاب مراجعه نمایید اگر باز هم خواستید بفرمایید تا اثبات را قرار بدم. اگر از راس$ A$ ارتفاع $AH $ را رسم کنیم این ارتفاع هم ارتفاع برای مثلث $ABH $ و هم برای $ ACH $ است و قاعده های این ارتفاع به ترتیب برابر هستند با $Bh $ و$ Ch $ پس نسبت مساحتها همان نسبت قاعده ها می شود(کافیست فرمول مساحت رو بنویسید)

حل الف:

اولین رابطه رو غلط نوشتید نباید $AB $و$AC $ توان داشته باشند. همچنین اگر در رابطه ی $ \frac{Bh}{Ch} = \frac{AB}{AC} $ که همان قضیه در هندسه دو است جمع در مخرج انجام دهیم داریم:

$ \frac{Bh}{Ch} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{Bh}{Ch+Bh} = \frac{AB}{AC+AB} \Rightarrow \frac{Bh}{a} = \frac{AB}{AC+AB}$ برای بدست آوردن رابطه ی بعدی کافیه به طور مشابه جمع در صورت را انجام دهیم اما اثبات اولین رابطه:

شاید راه حل ساده تری هم وجود داشته باشد اما این راه حل به ذهنم رسید.

ابتدا مساحت کل مثلث را از رابطه ی سینوسها ($S= \frac{1}{2}bcsin(2 \theta ) $)و سپس باز از همون رابطه اما این بار به صورت مجموع مساحت دو مثلث کوچک می نویسیم($S= \frac{1}{2}bAhsin( \theta )+ \frac{1}{2}Ahcsin( \theta )$) و برابر قرار می دهیم. خواهیم داشت: $$Ahb+Ahc=2bccos( \theta )$$

حال برای هر مثلث کوچک قضیه کسینوسها رو می نویسیم: $$\begin{cases} Bh^{2} = Ah^{2} + b^{2} -2Ahbcos( \theta ) \\Ch^{2} = Ah^{2} + c^{2} -2Ahccos( \theta ) \end{cases} $$</math$> حال اگر به کمک <math>$$Ahb+Ahc=2bccos( \theta )$$ یک بار به جای $ 2bcos( \theta ) $ مقدار $ \frac{Ahb+Ahc}{c} $ را جایگذاری کنیم و یکبار به جای $ 2ccos( \theta ) $ مقدار $ \frac{Ahb+Ahc}{b} $ را جایگذاری کنیم پس از ساده سازی دو رابطه ی زیر را خواهیم داشت:

$$\begin{cases} Bh^{2} = b^{2} - Ah^{2} \frac{b}{c} \\Ch^{2} = c^{2} - Ah^{2} \frac{c}{b} \end{cases} $$

حال اگر طرفین را در هم ضرب کنیم پس از ساده سازی داریم: $$ (BhCh)^{2} =(cb)^{2} -2bcAh^{2}+Ah^{4}=(bc-Ah^{2})^{2}$$ اگر از طرفین رادیکال بگیریم حکم ثابت می شود.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...