رابطه ی طول نیمساز...و رابطه ی نیمساز با مساحت در مثلث

Question

$=Ah$نیمساز

با توجه به شکل بالا:

ثابت کنید

الف

$$Ah^{2} = AB^{2}. AC^2-Bh.hC$$

$$Bh= \frac{ab}{b+c} ,hC= \frac{ac}{b+c}$$

ب

$$\frac{Bh}{Ch} = \frac{AB}{AC} = \frac{S_{ABh} }{ S_{ACh} }$$

Answer 1

Answer 2

حل ب :

اینکه $\frac{Bh}{Ch} = \frac{AB}{AC}$ قضیه ای در هندسه دو است)دومین قضیه) میتونید به این کتاب مراجعه نمایید اگر باز هم خواستید بفرمایید تا اثبات را قرار بدم. اگر از راس$A$ ارتفاع $AH$ را رسم کنیم این ارتفاع هم ارتفاع برای مثلث $ABH$ و هم برای $ACH$ است و قاعده های این ارتفاع به ترتیب برابر هستند با $Bh$ و$Ch$ پس نسبت مساحتها همان نسبت قاعده ها می شود(کافیست فرمول مساحت رو بنویسید)

حل الف:

اولین رابطه رو غلط نوشتید نباید $AB$و$AC$ توان داشته باشند. همچنین اگر در رابطه ی $\frac{Bh}{Ch} = \frac{AB}{AC}$ که همان قضیه در هندسه دو است جمع در مخرج انجام دهیم داریم:

$\frac{Bh}{Ch} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{Bh}{Ch+Bh} = \frac{AB}{AC+AB} \Rightarrow \frac{Bh}{a} = \frac{AB}{AC+AB}$ برای بدست آوردن رابطه ی بعدی کافیه به طور مشابه جمع در صورت را انجام دهیم اما اثبات اولین رابطه:

شاید راه حل ساده تری هم وجود داشته باشد اما این راه حل به ذهنم رسید.

ابتدا مساحت کل مثلث را از رابطه ی سینوسها ($S= \frac{1}{2}bcsin(2 \theta )$)و سپس باز از همون رابطه اما این بار به صورت مجموع مساحت دو مثلث کوچک می نویسیم($S= \frac{1}{2}bAhsin( \theta )+ \frac{1}{2}Ahcsin( \theta )$) و برابر قرار می دهیم. خواهیم داشت:

$$Ahb+Ahc=2bccos( \theta )$$

حال برای هر مثلث کوچک قضیه کسینوسها رو می نویسیم:

$$\begin{cases} Bh^{2} = Ah^{2} + b^{2} -2Ahbcos( \theta ) \\Ch^{2} = Ah^{2} + c^{2} -2Ahccos( \theta ) \end{cases}$$

حال اگر به کمک < math>

$$Ahb+Ahc=2bccos( \theta )$$ < /math> یک بار به جای < math>$2bcos( \theta )$< /math> مقدار < math>$\frac{Ahb+Ahc}{c}$< /math> را جایگذاری کنیم و یکبار به جای < math>$2ccos( \theta )$< /math> مقدار < math>$\frac{Ahb+Ahc}{b}$< /math> را جایگذاری کنیم پس از ساده سازی دو رابطه ی زیر را خواهیم داشت:

< math>

$$\begin{cases} Bh^{2} = b^{2} - Ah^{2} \frac{b}{c} \Ch^{2} = c^{2} - Ah^{2} \frac{c}{b} \end{cases}$$ < /math>

حال اگر طرفین را در هم ضرب کنیم پس از ساده سازی داریم: < math>

$$(BhCh)^{2} =(cb)^{2} -2bcAh^{2}+Ah^{4}=(bc-Ah^{2})^{2}$$ اگر از طرفین رادیکال بگیریم حکم ثابت می شود.