همانطور که در اثبات سوال وجود عنصر ماکزیمال $ A $ بیان شد باید $0 \notin S $
فرض کنید $ P $ عنصر ماکزیمال باشد از برهان خلف استفاده میکنیم: فرض کنید اول نباشد لذا $ a,b $ موجودند که $a \notin P $و$b \notin P $ اما $ab \in P $ اما از آنجایی که
$ P $ ماکسیمال $A $ است پس $P+(a) $ و $ P+(b) $ در
$ A $ نیستند یعنی وجود دارند $ s \in S \bigcap P+(a) $ و $s^{'} \in S \bigcap P+(b) $ یعنی $ s=p_{1} + r_{1} a $ و $ s^{'}=p_{2} + r_{2} b$ پس داریم :
$$ss^{'}=p_{1}p_{2} +p_{1}r_{2}b+ p_{2}r_{1}a +r_{1}r_{2}ab \in P$$
یعنی $ss^{'} \in P \bigcap S $ که تناقض است پس فرض خلف باطل و حکم ثابت شد.
