اولا باید قید بشه که $0 \notin S $ در غیر اینصورت مجموعه $A $ برابر تهی می شود. پس فرض کنیم که $0 \notin S $
اولا $ A \neq \emptyset $ است چون ایده آل صفر در $ A $ قرار دارد اگر ثابت کنیم هر زنجیر دلخواه از عناصر در $ A $ تحت رابطه ی $ \subseteq $ دارای کران بالایی در $A $ است آنگاه طبق لم زرن مجموعه ی $A $ دارای عنصر ماکسیمال است.
فرض کنید $ F_{1} \subseteq F_{2} \subseteq ... $ یک زنجیر دلخواه از عناصر در $ A $ باشد نشان می دهیم که $F= \bigcup F_{i} $ یک عنصر در $ A $ است که به وضوح کران بالایی برای این زنجیر خواهد بود.
اثبات ایده آل بودن $ F $ ساده است باید ثابت کنیم که $F \bigcap S = \emptyset $ است. فرض کنید چنین نباشد لذا وجود دارد $s \in F \bigcap S $ پس $ s \in F= \bigcup F_{i} $ یعنی یک $ i $ وجود دارد که $s \in F_{i} $ یعنی $ F_{i} \bigcap S \neq \emptyset $ و این با فرض اینکه زنجیری از عناصر $ A $ را داریم در تناقض است.
پس حکم ثابت شد.
