نشان دهید مجموعه همه زیر مجموعه های ضربی بسته$R$که از$I$مجزایند دارای عضوماکزیمال است. و...

Question

فرض کنید $I$ ایدال سره حلقه تعویضپذیر $R$ باشد و $Q$ نشان دهنده مجموعه همه زیر مجموعه های ضربی بسته $R$ باشدکه از$I$ مجزایند.نشان دهید $Q$نسبت به رابطه مشمولیت دست کم یک عضو ماکسیمال دارد و $S$ یک عضوماکسیمال $Q$ است اگروتنهااگر $R \setminus S$ یک ایدال اول مینیمال شامل $I$ باشد.

Comments

سلام لطفا سوال را ویرایش نماید.
سوالواضح نیست

Answer 1

ابتدا نشان می دهیم که $Q \neq \emptyset$ است برای این کار کافیست توجه کنیم که طبق قضیه در جبر پیشرفته(فصل اول به کمک لم زرن اثبات می شود.)$I$ مشمول در یک ایده آل ماکزیمال مانند $m$ است. از آنجایی که حلقه تعویض پذیر و دارای $1$ است لذا این ایده آل یک ایده آل اول است پس $R \setminus m$ یک مجموعه بسته ضربی است که با $I$ اشتراک ندارد. پس $Q \neq \emptyset$.

حال به سادگی از لم زرن می توان نتیجه گرفت(؟) که این مجموعه دارای عنصر ماکزیمال است.

اثبات قسمت دوم سوال:

فرض کنید $S$ عنصر ماکزیمال $Q$ باشد. طبق قضیه می دانیم که $R \setminus S$ یک ایده آل اول است و از آنجایی که طبق فرض $I \bigcap S= \emptyset$ پس $I \subseteq R \setminus S$ حال فرض کنید که این ایده آل اول مینیمال نباشد پس $p'$ موجود است که $I \subseteq p' ‎\subsetneq R \setminus S$ پس $R \setminus (R \setminus S)=S \subsetneq R \setminus p'$ و به وضوح $R \setminus p'\in Q$ و این تناقض است.

حال فرض کنید که $R \setminus S$ ایده آل اول مینیمال $I$ باشد. فرض کنید $S'$ عضو ماکزیمال $Q$ باشد. لذا طبق قسمت قبل $R \setminus S'$ ایده آل اول مینیمال $I$ است و لذا $R \setminus S=R \setminus S'$ پس $S = S'$ ولذا عضو ماکزیمال است.