حل 1)
$ ( b^{n}) $ را در $ R $ گفته پس به صورت $ \frac{ ( b^{n})+(a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} = \frac{ ( b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} $ است. باید ثابت کنیم در $ R $ یک ایده آل $(a,b) $ اولیه یعنی $ \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)} $ اولیه است. و این واضح است چون
$ \sqrt{ \frac{ ( b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} } = \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)} $ و $ \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)} $ ایده آل ماکسیمال و اول حلقه $R $ است.
حل 2)
$ ( b^{n}) $ در $ R $برابر است با $ \frac{ ( b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} $
$ (a) $ در $ R $برابر است با $ \frac{ (a,a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} = \frac{(a)}{(a ^{2},ab)} $ و چون $ \frac{(a)}{(a ^{2},ab)}$ یک ایده آل اول است لذا یک ایده آل $ (a)$ اولیه است
هر عضو غیر صفر در $ \frac{(a)}{(a ^{2},ab)}$ به صورت ترکیبی از $ $ است که در آن $ $
است. که چنین عنصری در $ \frac{ ( b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} $ نیست. پس
اشتراک دو ایده آل داده شده برابر صفر است پس کافیه نشان دهیم که $ ( b^{n}) $و$ (a) $ هردو اولیه هستند و هیچ کدام قابل حذف نیستند.(اولیه بودن بحث شد) و اگر $( b^{n}) $ حذف شود آنگاه $(a) \neq 0 $ چون $ 0 \neq a \in (a) $ عنصر مخالف صفر در $(a) $ است و اگر $ (a) $ را حذف کنیم از آنجایی که $b^{n} \notin (a ^{2},ab) $ پس این عنصر در $ ( b^{n}) $ مخالف صفر است.
حل 3)
$ ( a+ \lambda b^{n}) $ را در $ R $ گفته پس به صورت $ \frac{ ( a+ \lambda b^{n})+(a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} = \frac{ ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} $ است. باید ثابت کنیم در $ R $ یک ایده آل $(a,b) $ اولیه یعنی $ \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)} $ اولیه است. و این واضح است چون
$ \sqrt{ \frac{ ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} } = \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)} $ و $ \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)} $ ایده آل ماکسیمال و اول حلقه $R $ است.
اثبات $ \sqrt{ \frac{ ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} } = \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)} $
اولا واضح است که $( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab) \subseteq (a,b) $ پس
$ \sqrt{( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)} \subseteq \sqrt{(a,b) } =(a,b)$ کافیه نشان دهیم که
$(a,b) \subseteq \sqrt{( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)} $ یعنی توانی از $a $ و توانی از
$b $ در $( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)$ قرار دارند$ a ^{2} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)$
همچنین $ a+ \lambda b^{n} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)$ پس
$(a+ \lambda b^{n})^{2}=a ^{2}+2 a \lambda b^{n}+ \lambda^{2} b^{2n} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)$ واز آنجایی که $ a ^{2}+2 a \lambda b^{n} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab) $ پس باید
$ \lambda^{2} b^{2n} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab) $ و چون$0 \neq \lambda \in k $ پس وارون پذیر است پس $ b^{2n} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab) $
حل 4) به طور مشابه 2 ثابت می شود.
