فرض کنید$R=\frac{k[a,b]}{I}$که درآن$I=(a) \bigcap(a,b) ^{2} =(a ^{2},ab)$

Question

فرض کنید$n \in N$

1)نشان دهید که$(b ^{n})$ در R یک ایده آل $(a,b)$ - اولیه است.

2)نشان دهید که $0=(a) \cap(b ^{n})$ یک تجزیه اولیه مینیمال $0$ در $R$ است.

3)نشان دهید که به ازای هر $0 \neq \lambda \in k$ ایده آل $(a+ \lambda b ^{n})$ نیز $(a,b)$-اولیه است.

4)نشان دهید که $0=(a) \cap (a+ \lambda b ^{n} )$ .

Answer 1

حل 1)

$( b^{n})$ را در $R$ گفته پس به صورت $\frac{ ( b^{n})+(a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} = \frac{ ( b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)}$ است. باید ثابت کنیم در $R$ یک ایده آل $(a,b)$ اولیه یعنی $\frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)}$ اولیه است. و این واضح است چون $\sqrt{ \frac{ ( b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} } = \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)}$ و $\frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)}$ ایده آل ماکسیمال و اول حلقه $R$ است.

حل 2)

$( b^{n})$ در $R$برابر است با $\frac{ ( b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)}$

$(a)$ در $R$برابر است با $\frac{ (a,a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} = \frac{(a)}{(a ^{2},ab)}$ و چون $\frac{(a)}{(a ^{2},ab)}$ یک ایده آل اول است لذا یک ایده آل $(a)$ اولیه است

هر عضو غیر صفر در $\frac{(a)}{(a ^{2},ab)}$ به صورت ترکیبی از است که در آن است. که چنین عنصری در $\frac{ ( b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)}$ نیست. پس اشتراک دو ایده آل داده شده برابر صفر است پس کافیه نشان دهیم که $( b^{n})$و$(a)$ هردو اولیه هستند و هیچ کدام قابل حذف نیستند.(اولیه بودن بحث شد) و اگر $( b^{n})$ حذف شود آنگاه $(a) \neq 0$ چون $0 \neq a \in (a)$ عنصر مخالف صفر در $(a)$ است و اگر $(a)$ را حذف کنیم از آنجایی که $b^{n} \notin (a ^{2},ab)$ پس این عنصر در $( b^{n})$ مخالف صفر است.

حل 3)

$( a+ \lambda b^{n})$ را در $R$ گفته پس به صورت $\frac{ ( a+ \lambda b^{n})+(a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} = \frac{ ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)}$ است. باید ثابت کنیم در $R$ یک ایده آل $(a,b)$ اولیه یعنی $\frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)}$ اولیه است. و این واضح است چون $\sqrt{ \frac{ ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} } = \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)}$ و $\frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)}$ ایده آل ماکسیمال و اول حلقه $R$ است.

اثبات $\sqrt{ \frac{ ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} } = \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)}$ اولا واضح است که $( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab) \subseteq (a,b)$ پس $\sqrt{( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)} \subseteq \sqrt{(a,b) } =(a,b)$ کافیه نشان دهیم که $(a,b) \subseteq \sqrt{( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)}$ یعنی توانی از $a$ و توانی از $b$ در $( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)$ قرار دارند$a ^{2} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)$

همچنین $a+ \lambda b^{n} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)$ پس $(a+ \lambda b^{n})^{2}=a ^{2}+2 a \lambda b^{n}+ \lambda^{2} b^{2n} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)$ واز آنجایی که $a ^{2}+2 a \lambda b^{n} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)$ پس باید $\lambda^{2} b^{2n} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)$ و چون$0 \neq \lambda \in k$ پس وارون پذیر است پس $b^{2n} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)$

حل 4) به طور مشابه 2 ثابت می شود.

Comments

بی نهایت سپاسگذارم

---

خواهش میکنم موفق باشید.