Question

فرض کنید $M$ یک$R$-مدول باشد.در این صورت ثابت کنید $Hom_{R} (R,M) \cong_{R} M$.

Answer 1

همانطور که میدانید $Hom_{R} (R,M) \cong_{R} M$ یک $R $ مدول چپ است کافیه یک یکریختی بین $Hom_{R} (R,M) \cong_{R} M$ و $ M $ را تعریف کنیم.

تعریف میکنیم $ \theta : Hom_{R} (R,M) \rightarrow M $ که $ \theta ( \varphi )= \varphi (1) $ نشان میدهیم یک یکریختی است.

بوضوح خوش تعریف است پس یک به یکی را نشان می دهیم: فرض کنید $\theta ( \varphi _{1} )=\theta ( \varphi _{2} ) $ یعنی $ \varphi _{1}(1)= \varphi _{2}(1) $ نشان میدهیم $ \varphi _{1}=\varphi _{2}$ یعنی اثر این دو روی هر عنصر دلخواه از دامنه یکی است فرض کنید $r \in R $ عنصری دلخواه باشد چون $ \varphi _{1} $ یک $ R $ همریختی است(اندیس $ Hom(R,M) $ برابر $ R $ است) پس میتوان نوشت $\varphi _{1}(r)=\varphi _{1}(r.1) =r\varphi _{1}(1) $ و بطور مشابه برای $\varphi _{2} $ هم می توان نوشت $\varphi _{2}(r)=\varphi _{2}(r.1) =r\varphi _{2}(1) $ پس اثرشون روی هر عنصر دلخواه یکی است یعنی این دو یکی هستند.

پوشایی:

فرض کنید $m \in M $ عنصر دلخواهی باشد تعریف میکنیم $ \varphi :R \rightarrow M $ که $ \varphi (1)=m $ پس $ \varphi (r)= \varphi (r.1)= r\varphi (1)= rm$ به سادگی میتوان نشان داد که یک $R $ همریختی است پس $ \varphi \in Hom_{R} (R,M) $ و $$ \theta ( \varphi )= \varphi (1)=m $$

همریختی: $$ \theta ( \varphi + \psi )= ( \varphi + \psi )(1)= \varphi (1)+ \psi (1)= \theta ( \varphi )+ \theta ( \psi ) $$ $$ \theta (r \varphi )= (r \varphi )(1)= r\varphi (1)= r\theta ( \varphi )$$