تعداد دورها به طول $m $ در گراف کامل از رابطه ی ${p \choose{m} } \frac{(m-1)!}{2} $ بدست می آید کافیست ثابت کنیم که وقتی
این عبارت بیشترین مقدار می شود که $m=p-1$
اولا دقت کنید که برای $ m $ و $p-m $ مقدار ${p \choose{m} }$ یکی است لذا وقتی بیشترین دور را می خواهیم باید روی $ m $ای بحث کنیم که بزرگتر یا مساوی است با $ \frac{p}{2} $
برای هر $ \frac{p}{2} \leq k < p $ داریم:
$$ \frac{p-1}{k} \leq (p-k) $$
(کافیست قرار دهید $p=k+x$ و توجه کنید که $x \neq 0$)
با ضرب طرفین در عبارت مناسب داریم:
$$ \frac{p-1}{k} \leq (p-k)! \Rightarrow $$
$$ \frac{(p-1)(p-2)...(p-k+1)}{k} \leq (p-2)! \Rightarrow $$
$$ \frac{p(p-1)(p-2)...(p-k+1)}{k} \frac{(k-1)! }{(k-1)! } \leq p.(p-2)! \Rightarrow $$
$$ \frac{(p-1)(p-2)...(p-k+1)(k-1)!}{k!} \leq p.(p-2)! \Rightarrow $$
$${p \choose{k} } \frac{(k-1)!}{2} \leq {p \choose{p-1} } \frac{(p-2)!}{2}$$
