چرا یک گراف دوبخشی هیچ دور به طول فرد ندارد؟ و تعداد دورهای با طول زوج در گراف دوبخشی کامل را بیابید.

Question

ثابت کنید گراف‌های دوبخشی، دور به طول فرد ندارند. و همینطور تعداد دور به طول $2k$ در یک گرافِ دوبخشیِ کاملِ $K_{m,n}$ که $m$ و $n$ تعداد گره‌ها در هر بخشِ آن است، برابر است با: $$\binom{m}{k}\binom{n}{k}\frac{k!(k-1)!}{2}$$

Comments

منظورتون گراف کامل دو بخشی بود؟

---

گراف کامل دو بخشی برای دور زوج و کلا گراف دو بخشی برای دور فرد

---

پس لطفا سوالتون رو ویرایش کنید.

Answer 1

نشان میدهیم اگر گراف $G $ دو بخشی باشد آنگاه دارای دور فقط با طول زوج است. فرض کنید$G$ یک گراف دوبخشی با بخش های $ W_{1} $و $ W_{1} $باشد همچنین فرض کنید که $ C=( v_{1} , v_{2} ,..., x_{n} , x_{1} ) $ یک دور باشد.

$ v_{1} $ یا در $ W_{1} $ است یا در $W_{2} $ بدون کاستن از کلیت فرض کنید که در $ W_{1} $ باشد طبق تعریف گراف دوبخشی باید $ v_{2} \in W_{2} $ پس $ v_{3} \in W_{1} $ و... دقت کنید اندیس های زوج در $ W_{2} $ قرار می گیرند

چون $v_{1} \in W_{1} $ باید $ v_{n} \in W_{2} $ و این بدین معنی است که $ n$ زوج است.

همانطور که نشان داده شد برای هر دور نصف رئوس در $ W_{1} $ و نصف دیگر در $W_{2} $ قرار دارند

حال اگر بخواهیم تعداد حالات دوری به طول $ 2k $ را بیابیم باید $k $ راس را از مجموعه اول و $ k $تای دیگر را از مجموعه دوم انتخاب کنیم پس تا اینجای کار ${n \choose{k} }{m \choose{k} }$ حالت و اگر اولین عضو دور از مجموعه اول باشد (چون دور داریم با جایگشت دایره ای مواجه هستیم)$ \frac{(k-1)!}{2} $ حالت داریم اما چون بین هر یک از این عناصر، عناصر مجموعه دوم قرار میگیرد لذا این عناصر $ \frac{(k)!}{2} $ حالت قرار گیری دارند لذا تا اینجا تعداد حالات برابر شد با $ {n \choose{k} }{m \choose{k} } \frac{(k-1)!}{2} \frac{(k)!}{2} $ همچنین اینکه اولین عضو از مجموعه اول باشد یا دوم خودش دو حالت است و با جایگذاری تعداد حالات برابر است با: $$ {n \choose{k} }{m \choose{k} } \frac{(k-1)!}{2} (k)! $$