می توانیم بر اساس حالات اشتراک سه خط در صفحه کلیه حالات را پیدا کنیم.
1- سه خط موازی باشند: یعنی باید شیب خط ها برابر باشد چون شیب خط $ax+by=c$ برابر است با $\frac{-a}b$ لذا موازی بودن خطوط معادل است با $\frac ab=\frac {a'}{b'}=\frac{a''}{b''}$
توجه کنید که در این حالت اشتراک خطوط تهی است.
2- دو خط منطبق و خط سومی با آنها موازی باشد: در این حالت اولا مانند الف شیب هر سه خط برابر است ثانیا دو خط از این سه خط دارای نقطه اشتراک هستند.(یک نقطه روی یکی از خطها در نظر میگیریم و بررسی میکنیم که در کدام یک از دو خط دیگر صدق می کند)
در این حالت نیز اشتراک خطوط تهی است.
3- سه خط منطبق باشند: یعنی شیب هر سه برابر است و ثانیا هر سه خط دارای نقطه اشتراک هستند.(یک نقطه روی یکی از خطوط در نظر میگیریم و بررسی میکنیم که در دو خط دیگر نیز صدق میکند)
اشتراک خطوط برابر است با خود این خطوط
4- سه خط در یک نقطه اشتراک داشته باشند: توجه کنید در صفحه دو خط اگر موازی نباشند در اینصورت متقاطع اند. پس شرط تقاطع در یک نقطه این است که دو به دو این سه خط متقاطع باشند و مختصات نقطه تقاطع در دو به دوی آنها یکی باشد.
5- دو خط موازی و خط سوم آنها را قطع کند: در اینصورت اشتراک خطوط برابر دو نقطه است. برای پیدا کردن نقاط تقاطع باید دو دستگاه دو معادله و دو مجهولی که با معادله خطوط متقاطع تشکیل می شود حل کنید.
6- سه خط در سه نقطه اشتراک داشته باشند: در اینصورت این خطوط دو به دو متقاطع بوده و مختصات محل تقاطع بعد از حل دستگاه دو معادله دو مجهولی تشکیل شده توسط این خطوط با هم دیگر برابر نیستند.
