بسط تیلور تابع $f$ که بی نهایت بار در نقطه $a$ مشتق پذیر است عبارت است از سری:
$$\sum_0^\infty \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n$$
که $f^n(a)$ مشتق مرتبه $n$ ام است.
به عبارت دیگر
$$f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^3(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$$
چنانچه$a=0$ در اینصورت بسط تیلور تابع $f$ در صفر را بسط مک لورن آن تابع گویند.
به عنوان مثال برای نوشتن بسط مک لورن $\sin x$ داریم:
$$\begin{align}\sin x&=\sin (0)+\frac{\sin'(0)}{1!}x+\frac{\sin''(0)}{2!}x^2+\frac{\sin^{(3)}(0)}{3!}x^3+\frac{\sin^{(4)}(0)}{4!}x^4+\frac{\sin^{(5)}}{5!}x^5+\cdots \\
&
=\sin 0+\frac{\cos 0}{1!} x+\frac{-\sin 0}{2!}x^2+\frac{(-\cos 0)}{3!}x^3+\frac{\sin 0}{4!}x^4+\frac{\cos 0}{5!}x^5+\cdots\\
&=\quad 0+\qquad x+\qquad 0+\qquad \frac{-1}{3!}x^3+\qquad 0+\qquad \frac{1}{5!}x^5+\cdots \\
&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots\end{align}$$
که ممکن است آن را به صورت
$$\sin x=\sum_0^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$
بنویسید.
