ثابت كنيد:$a > 1, a^{n} \leq x < a^{n+1} \Longleftrightarrow [ log_{a} x]=n$

Question

فرض كنيم $n$ عدد صحيح و$x$ عدد حقيقي باشد آنگاه ثابت كنيد:

$a > 1, a^{n} \leq x < a^{n+1} \Longleftrightarrow [ log_{a} x]=n$

$0 < a < 1, a^{n+1} \leq x < a^{n} \Longleftrightarrow [ log_{a} x]=n$

Answer 1

فرض کنید $a> 1$ چون $\log_a x$ تابعی اکیدا صعودی است پس از $a^{n} \leq x < a^{n+1}$ داریم:

$$n=\log_a a^n \leq \log_a x< \log_aa^{n+1}=n+1 $$

بنابراین $\lfloor\log_a x\rfloor=n$

برعکس: اگر $ \lfloor\log_a x\rfloor=n $ در اینصورت طبق تعریف جزء صحیح داریم $n\leq \log_a x< n+1$ ولی چون تابع $a^x$ اکیدا صعودی است داریم $$a^n\leq a^{\log_a x}=x< a^{n+1}$$

برای بعدی هم به طور مشابه استدلال کنید با این تفاوت که برای $0< a< 1$ توابع $\log_a x$ و $a^x$ توابعی اکیدا نزولی هستند.