فرض کنید
$$a_1,a_2,...,a_n$$ دنباله حسابی باشد که جمله اول $a_1$ و قدرنسبت $d$ باشد می دانیم که مجموع جملات این دنباله حسابی برابر است با $\frac{n(a_1+a_n)}2$ .
دو حالت ایجاد میشه. یکی اینکه $n$ زوج که در اینصورت:
$a_2+a_4+...+a_n$ تشکیل یک دنباله حسابی با جمله اول $a_2$ و قدر نسبت $2d$ می دهد چون تعداد جملات برابر است با $\frac n2$
پس مجموع برابر است با:
$$\frac{\frac n2(a_2+a_n)}2$$
و مجموع جملات فرد برابر است با مجموع تمام جملات منهای مجموع جملات زوج. یا اینکه باز هم می توان مجموع دنباله $a_1+a_3+...+a_{n-1}$ را در نظر بگیرید که برابر یک دنباله حسابی با قدر نسبت $2d$ و جمله اول $a_1$ است که $\frac n2$ تا جمله دارد پس برابر است با $\frac{\frac n2(a_1+a_{n-1})}2$
حالت دوم این که $n$ فرد باشد. در اینصورت تعداد $\frac{n-1}2$ جمله زوج داریم که عبارت اند از $a_2+a_4+...+a_{n-1}$ که مجموع برابر است با $\frac{\frac{n-1}2(a_2+a_{n-1})}{2}$
و مجموع جملات فر میشه مجموع کل جملات منهای مجموع جملات زوج یا اینکه به صورت دنباله حسابی $a_1+a_3+...+a_n$ با $\frac{n-1}2+1=\frac{n+1}2$ جمله در نظر بگیریم که در اینصورت مجموع برابر است با $\frac{(\frac{n+1}2)(a_1+a_n)}{2}$
من دیگه فرمولها رو ساده نکردم میتونید در فرمولهای بالا به جای $a_n=a_1+(n-1)d$ قرار هید.
