مجموع دنباله حسابي

Question

هرگاه تعداد جملات يك دنباله ي حسابي برابر $n$ باشد ومجموع $k$ جمله ي اول آن برابر $S'$ و مجموع $k$ جمله ي آخر آن برابر$S''$ باشد. مجموع جملات دنباله حسابي چيست.! خيلي ممنون

Comments

لطفا مطمئن بشید که سوال رو درست نوشتید و همه مفروضات لازم رو نوشتید.

---

@fardina
ببخشد . ويرايش كردم

Answer 1

از آنجاکه $S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$ می‌باشد پس کافیست مقدار $a_1 +a_n$ را محاسبه کنیم

از اینکه $S_k=S'$ داریم:

$$S'=S_k=a_1+a_2+\ldots + a_k=a_1+(a_1+d)+\ldots +(a_1+(k-1)d)$$ $=ka_1+(1+2+\ldots + (k-1))d=ka_1+\dfrac{(k-1)k}{2}d \qquad \qquad$ پس

$$S'=ka_1+\dfrac{(k-1)k}{2}d \qquad \qquad (*)$$

از طرف دیگه داریم:

$$S''=a_{n-k+1}+a_{n-k+2}+\ldots + a_n$$

$=(a_n-(k-1)d)+(a_n-(k-2)d)+\ldots +a_n \qquad$ $=ka_n-(1+2+\ldots + (k-1))d=ka_n-\dfrac{(k-1)k}{2}$

پس

$$S''=ka_n-\dfrac{(k-1)k}{2}d \qquad \qquad (**)$$ از $(*)$ و $(**)$ داریم که

$$a_1+a_n=\dfrac{S'+S''}{k}$$

در نتیجه

$$S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)=\dfrac{n}{2}(\dfrac{S'+S''}{k})$$