از آنجاکه $S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$ میباشد پس کافیست مقدار $a_1 +a_n$ را محاسبه کنیم
از اینکه $S_k=S'$ داریم:
$$S'=S_k=a_1+a_2+\ldots + a_k=a_1+(a_1+d)+\ldots +(a_1+(k-1)d) $$
$ =ka_1+(1+2+\ldots + (k-1))d=ka_1+\dfrac{(k-1)k}{2}d \qquad \qquad $
پس
$$ S'=ka_1+\dfrac{(k-1)k}{2}d \qquad \qquad (*)$$
از طرف دیگه داریم:
$$ S''=a_{n-k+1}+a_{n-k+2}+\ldots + a_n $$
$ =(a_n-(k-1)d)+(a_n-(k-2)d)+\ldots +a_n \qquad $
$ =ka_n-(1+2+\ldots + (k-1))d=ka_n-\dfrac{(k-1)k}{2}$
پس
$$ S''=ka_n-\dfrac{(k-1)k}{2}d \qquad \qquad (**)$$
از $(*)$ و $(**)$ داریم که
$$ a_1+a_n=\dfrac{S'+S''}{k}$$
در نتیجه
$$S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)=\dfrac{n}{2}(\dfrac{S'+S''}{k}) $$
