در دنباله حسابي دو رابطه زير را اثبات كنيد $d= \frac{ S_{2n} - S_{n} }{ n^{2} }$ $S_{k} =3( S_{3n} -S_{n} )$

Question

در دنباله حسابي دو رابطه زير را اثبات كنيد

$$d= \frac{ S_{2n} -2 S_{n} }{ n^{2} }$$ $$S_{3n} =3( S_{2n} -S_{n} )$$

Comments

@sahar3
در رابطه دوم $k$ چیست؟

---

@wahedmohammadi
3n
.ويرايش كردم..

---

@sahar3
به نظرم این روابط نمیتونن درست باشن زیرا اگر دنبال $...,1،2،3،4،5،$ را در نظر بگیریم آنگاه اگر قرار دهیم $n=1$ ؛ با جایگذاری می‌توان ثابت کرد هم رابطه اول هم رابطه دوم اشتباه است؛

---

فکر میکنم که هر دو رابطه ای که نوشتید برای دنباله های حسابی برقرار نیستن. شاید جایی اشتباهی کردید؟

---

@fardina
@wahedmohammadi
معذرت رابطه رو اشتباه نوشتم... ويرايش كردم..

Answer 1

ابتدا رابطه زیر را ثابت می‌کنیم:

$S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n=a_1 +(a_1 + d) + \ldots + (a_1 + (n-1)d)$ $= na_1+(1+2+\ldots + (n-1))d=na_1 +(\dfrac{(n-1)n}{2})d \qquad \quad$ $$\Rightarrow S_n=\dfrac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$$

و اینکه داریم:

$$\Rightarrow S_{2n}=\dfrac{2n(2a_1+(2n-1)d)}{2}= n(2a_1+(2n-1)d$$

با این خصوصیات می‌توان گفت که

$$S_{2n} - 2S_n= n(2a_1+(2n-1) - n(2a_1+(n-1)d)=n^2d$$

پس رابطه اول محاسبه می‌شود

$$d= \dfrac{S_{2n} - 2S_n}{n^2}$$

طبق رابطه‌ای که اثبات کردیم داریم که:

$$S_{3n}=\dfrac{3n(2a_1+(3n-1)d)}{2}\qquad \qquad \qquad (*)$$

با تشکیل رابطه زیر قسمت دوم سوال رو هم اثبات می‌کنیم

$$S_{2n} - S_n= n(2a_1+(2n-1)) - \dfrac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$$ $$= \dfrac{n}{2}(2a_1+(3n-1) d)=\dfrac{1}{3}S_{3n} \ \ $$