ابتدا رابطه زیر را ثابت میکنیم:
$ S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n=a_1 +(a_1 + d) + \ldots + (a_1 + (n-1)d)$
$ = na_1+(1+2+\ldots + (n-1))d=na_1 +(\dfrac{(n-1)n}{2})d \qquad \quad$
$$ \Rightarrow S_n=\dfrac{n(2a_1+(n-1)d)}{2} $$
و اینکه داریم:
$$ \Rightarrow S_{2n}=\dfrac{2n(2a_1+(2n-1)d)}{2}= n(2a_1+(2n-1)d$$
با این خصوصیات میتوان گفت که
$$ S_{2n} - 2S_n= n(2a_1+(2n-1) - n(2a_1+(n-1)d)=n^2d$$
پس رابطه اول محاسبه میشود
$$ d= \dfrac{S_{2n} - 2S_n}{n^2}$$
طبق رابطهای که اثبات کردیم داریم که:
$$ S_{3n}=\dfrac{3n(2a_1+(3n-1)d)}{2}\qquad \qquad \qquad (*)$$
با تشکیل رابطه زیر قسمت دوم سوال رو هم اثبات میکنیم
$$ S_{2n} - S_n= n(2a_1+(2n-1)) - \dfrac{n(2a_1+(n-1)d)}{2} $$
$$ = \dfrac{n}{2}(2a_1+(3n-1) d)=\dfrac{1}{3}S_{3n} \ \ $$
