$S_{1} =1+2+3+....+n= \frac{n}{2} ( n+1)$

Question

اثبات مجموع زير به چند روش؟

$$S_{1} =1+2+3+....+n= \frac{n}{2} ( n+1)$$

Answer 1

اتحاد $(x+1)^{2} = x^{2} +2x+1$در نظر ميگيريم

اين اتحاد به ازاءهمه مقادير $x$بر قرار است. كه اگر $x$ را به ترتيب مساوي عدد هاي صحيح $(0,1,2,...,n)$در نظر بگيريم داريم:

$$x=0 \rightarrow 1^{2} =1$$

$$x=1 \rightarrow 2^{2} = 1^{2} +(2×1)+1$$

$$x=2 \rightarrow 3^{2} = 2^{2} +(2×2)+1$$

$$x=3 \rightarrow 4^{2} =3^{2} +(2×4)+1$$

$$.$$

$$.$$

$$.$$

$$x=n \rightarrow (n+1)^{2} =n^{2} +(2×n)+1$$

حال طرفين تساوي فوق را با هم جمع ميكنيم:

$$1^{2} + 2^{2} + ...+ n^{2} + (n+1)^{2}= ( 1^{2} + 2^{2} +...+ n^{2} )+2(1+2+..+n)+(1+...+1)$$

$$\Rightarrow (n+1)^{2} =2(1+2+3+...+n)+n+1$$

$$\Rightarrow 2 S_{1} = (n+1)^{2} -(n+1)$$

$$\Rightarrow 2S_{1} = (n+1)[(n+1)-1]$$

$$2 S_{1} =n(n+1)$$

$$S_{1} = \frac{n(n+1)}{2}$$

.

.

Answer 2

یکی از راه حل های معروف نوشتن مجموع خواسته شده به صورت زیر است:

$$\begin{array}{cccccc} S=&1&+2&+3&+...+&(n-1)&+n\\ S=&n&+(n-1)&+(n-2)&+...+&2&+1\\\hline 2S=&(n+1)&+(n+1)&+(n+1)&+...+&(n+1)&+(n+1) \end{array}$$ همانطور که میبینید دو بار مجموع را نوشتیم یک بار از $1$ تا $n$ و یک بار از $n$ تا $1$ . در اینصورت اگر دوطرف را با هم جمع کنیم میبینیم که هر جمله به اضافه جمعه متناظرش در سطر بعدی برابر $(n+1)$ است. اما $$2S=\underbrace{(n+1)+(n+1)+...+(n+1)}_{n-times}=n(n+1)$$ بنابراین $S=\frac{n(n+1)}2$ .

روش دیگر استفاده از اصل استقرای ریاضی است.

میخواهیم ثابت کنیم $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}2$

حکم برای $n=1$ به وضوح برقرار است.

فرض کنیم حکم برای $n$ برقرار باشد یعنی $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}2$

نشان می دهیم که حکم برای $n+1$ نیز برقرار است یعنی $1+2+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}2$

از فرض استقرا داریم:

$$\begin{align}\underbrace{1+2+...+n}+(n+1)&=\frac{n(n+1)}2+(n+1)\\ &=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}\\ &=\frac{(n+1)(n+2)}2\end{align}$$

و حکم ثابت است.

البته راه حل های دیگری هم وجود دارند مثل راه حل هندسی و استفاده از ترکیبیات که امیدوارم کاربران دیگر اشاره بکنند.

Answer 3

الف: n زوج باشد:

اگر به ترتیب جملات اول و آخر را با هم جمع کنیم داریم:

$$1+n=n+1$$

$$2+(n-1)=n+1$$ $$3+(n-2)=n+1$$

به همین ترتیب ادامه می دهیم:

$$(\frac{n}{2}-1)+(\frac{n}{2}+2)=n+1$$

$$(\frac{n}{2})+(\frac{n}{2}+1)=n+1$$

بدین ترتیب $\frac{n}{2}$ تا جمله $(n+1)$ به دست می آید، پس مجموع اعداد 1 تا $n$ برابر است با:

$$\frac{n}{2}(n+1)$$

ب: n فرد باشد:

$$1+n=n+1$$

$$2+(n-1)=n+1$$ به همین ترتیب ادامه می دهیم:

$$\frac{n-1}{2}+(\frac{n-1}{2}+2)=n+1$$ و جمله وسط $(\frac{n-1}{2}+1)$ به دست می آید.

از مجموع این جملات، $\frac{n-1}{2}$ تا جمله $(n+1)$ بعلاوه جمله $(\frac{n-1}{2}+1)$ به دست می آید:

$$(\frac{n-1}{2})(n+1)+(\frac{n-1}{2}+1)=\frac{n}{2}(n+1)$$

Comments

این استدلال برای وقتی که n زوج باشه درسته.

---

ممنون، اصلاحش کردم.