فضای توابع

Question

سلام، چرا فضاهای $L^{2}(\mathbb{R}) $ و $ \ell ^{2}(\mathbb{N}) $ بعد نامتناهی دارند آیا میشه یک پایه برای این فضاها ارائه داد؟

Answer 1

به طور کلی در $l^p$ ها مجموعه $e_n=(0,...0,1,0,...)$ ها یک زیرمجموعه مستقل خطی هستند بنابراین $dim l^p=\infty$ .
باید برای $L^2$ هم به طور مشابه یک زیرمجموعه نامتناهی مستقل پیدا کنید.

Comments

ممنون از شما، بنظر برای $L^2$ ميتوان پایه های موجک یا گابور را در نظر گرفت

---

بله مثلا برای $L^2[0, 2\pi]$ مجموعه $\{f_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx}\}_n$ رو دیدم که در نظر میگیرن.