با ۲۰۰۴ بار تکرار عمل $(a,b,c)\rightarrow (b+c,a+c,a+b)$ روی $(1,3,5)$ به چه سه تایی ای می رسیم؟

Question

دبیر محترم ریاضی جناب آقای الماسی پرسش زیر را داده‌اند که برای حلش نیاز به راهنمایی دارم.

برای هر دسته سه‌تائی از اعداد مثل $( a,b,c )$، سه‌تائیِ دیگری به صورت $(b+c , a+c , a+b )$ می‌سازیم و این کار را یک عمل می‌نامیم. 2004 عمل از این نوع را با شروع $(1,3,5)$ انجام می‌دهیم و به سه‌تاییِ $(x , y , z)$ می‌رسیم، حاصل $x + z$ چند است؟

Answer 1

یک روش ساده برای حل چنین سوالاتی یافتن یک الگو بین مراحل است.برای اینکار ابتدا چند مرحله ی اول را انجام می دهیم:

$\Rightarrow (8,6,4)$مرحله $1$ $\\$ $\Rightarrow (10,12,14)$مرحله $2$ $\\$ $\Rightarrow (26,24,22)$مرحله $3$ $\\$ $\Rightarrow (46,48,50)$مرحله $4$ $\\$ $\Rightarrow (98,96,94)$مرحله $5$

اگر دقت کنید در هر مرحله عدد وسطی دو برابر می شود لذا در مرحله ی $2004$ عدد وسط که در اول $3$ است به تعداد $2004$ بار در $2$ ضرب می شود لذا در این مرحله عدد وسط برابر است با $3 \times 2^{2004}$

همچنین همیشه عدد وسط میانگین دو عدد کنار است یا به عبارت دیگر مجموع دو عدد کنار دو برابر عدد وسط است لذا $x+z=2 \times 3 \times 2^{2004}=3 \times 2^{2005}$

Comments

بسیار متشکرم .
واقعا تو این سوال مونده بودم !
ممنون که کمکم کردین !

---

خواهش میکنم موفق باشید.