یک جدول نقطه چین با ۳ ردیف و ۴ ستون در نظر بگیرید. چند سه گوش با نقطه های این نقطه چین می توان کشید؟

Question

سوال جالب ولی سخت. جدول نقطه‌چین که در شکل زیر آمده‌است با ۳ ردیف و ۴ ستون را در نظر بگیرید. چند مثلث با نقطه‌های این شکل می‌توان کشید؟

1. ۲۲۴
2. ۲۲۰
3. ۲۰۴
4. ۲۰۰

Comments

میشه بگید منبع سوال چیه؟

---

@taha با سلام دوست عزیز. این سوال در کانال تلگرامی دبیر محترم ریاضی به اشتراک گذاشته شده.

---

سلام. ممنونم.

Answer 1

هر سه نقطه که در راستای یک خط نباشند یک سه‌گوشِ یکتا خواهند ساخت. پست سه گوشهٔ سه‌گوش‌مان نمی‌توانند هر سه متعلق به یک سطر از نقطه‌چین‌تان باشند. دو حالت داریم، هر نقطه متعلق به یک سطر مجزا باشد یا اینکه دو نقطه به یک سطر و نقطهٔ آخر به سطری مجزا متعلق باشد. توجه کنید که تنها سه حالت افراز برای عدد ۳ داریم. یعنی

$$3=3\\3=2+1\\3=1+1+1$$

افراز به این معنا که به شکل جمع عددهای طبیعی دیگری نوشته شود که جمع تکراری نباشد برای نمونه $1+2$ همان $2+1$ شمرده می‌شود (دقیق‌تر؛ از جایگشتی بر روی جمع‌وندهایش برابر با جمعی که پیش‌تر فهرست کردید نشود). به هر حال. حالتی که هر سه نقطه به سطرهای متفاوت متعلق باشند برابر با حاصلضرب انتخاب ۱ نقطه از ۴ نقطه، سه بار در هم می‌شود. ولی توجه کنید که نمی‌خواهیم در یک خط باشند پس نباید به یک ستون متعلق باشند. در نتیجه ۴ حالت که هر یک برابر با انتخاب یک ستون است باید کاسته شود. با سپاس از @Elyas1، به جز آن ۴ حالت دیگر (دو قطر از چپ به راست و دو قطر از راست به چپ) می‌توانی رسم کرد که روی یک خط راست خواهند بود، این ۴ حالت نیز باید کاسته شوند. پس تا اینجا

$$\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}-\binom{4}{1}-4$$

حالت داریم. اکنون برای زمانی که دو گوشه در یک سطر و گوشهٔ نهایی در سطر دیگری باشد. توجه کنید که در این حالت هیچ حالت در یک خط شدنی پیش نمی‌آید پس کاستنی به این علت در کار نیست. توجه کنید که برای این حالت‌ها ابتدا دو سطر از ۳ سطر باید انتخاب شود و سپس از بین دو سطر انتخاب شده، یکی برای دوتا گوشه و یکی برای گوشهٔ تنها انتخاب شوند. انتخاب سطرها به $\binom{3}{2}$ حالت ممکن است و اختصاص‌دادنِ دو سطر به دو‌گوشه و گوشهٔ تنها از بین دو سطرِ انتخاب‌شده به ۲ حالت ممکن است. پس تا اینجا $2\times\binom{3}{2}$. اما پس از اینکه سطرها و وظایفشان تعیین شد، برای دو گرهٔ هم‌سطر $\binom{4}{2}$ انتخاب و برای گوشهٔ تنها $\binom{4}{1}$ گزینه داریم. پس در کل

$$2\binom{3}{2}\binom{4}{2}\binom{4}{1}$$

در این بخش پیدا کردیم. و پاسخ نهایی جمع حالت‌های بخش سه سطر متفاوت و بخش دو سطر متفاوت است.

$$4\times 4\times 4-4-4+2\times 3\times 6\times 4=200$$

Answer 2

• اگر 12 نقطه شامل هیچ سه تایی در یک راستا نبود کل مثلث ها برابر بود با $$\binom{12}{3} =220$$ حال کافی است تعداد سه تایی که در یک راستا هستند از کل کم کنیم
• تعداد سه تایی در هر راستای قائم یکی است پس 4تا سه تایی در راستایی قائم داریم
• تعداد سه تایی در هر راستای افق برابر $\binom{4}{3} =4$ است پس 12 تا سه تایی در راستایی افقی داریم
• با کمی دقت متوجه 4 تا سه تایی در راستای مایل می شوید بنابراین جواب نهایی به صورت زیر می باشد $$220-4-12-4=200$$