سیگماجبر زیرمجموعه های شمارا یا متمم شمارا با سیگماجبر تولید شده توسط تمام تک عضوی ها برابر است.

Question

فرض کنید $$A=\big\{E\subset\mathbb{R}\mid E\text{ or } E^c\text{ is countable }\big\}$$ یعنی مجموعهٔ تمام زیرمجموعه‌های $\mathbb{R}$ که خودشان یا متمم‌شان شمارا هستند. می‌دانیم که $A$ یک $\sigma$-جبر است. ثابت کنید سیگماجبر تولید شده توسط مجموعهٔ تمام زیرمجموعه‌های تک‌عضویِ $\mathbb{R}$ برابر است با $A$.

Comments

yosef.sobhi عزیز: بهتره که تایپ ریاضیLATEX رو همینجا در قسمت راهنمای تایپ یادبگیرید چون به هرحال پایان نامه ارشدتون رو هم باید با Latex تایپ کنید.

Answer 1

فقط کافیه از نکات زیر استفاده کنید:

فرض کنید $ X\neq\emptyset $ یک مجموعه باشد:

1. اگر $ \mathcal A $ یک سیگما جبر روی $X$ باشد آنگاه سیگما جبر تولید شده توسط $ \mathcal A $( که با $ M(\mathcal A) $نمایش می دهند) برابر خودش است. یعنی $ M(\mathcal A)=\mathcal A $ .
2. اگر $A\subset B $زیرمجموعه های $P(X) $ باشند در اینصورت $ M(A)\subset M(B) $ .

با استفاده از نکات بالا و عضوگیری به راحتی ثابت میشه.

---

توضیح بیشتر:

فرض کنید $\mathcal B $ مجموعه تمام مجموعه های تک عضوی باشد. در اینصورت واضح است که $ \mathcal B\subset \mathcal A $ ( چون مجموعه های تک عضوی شمارا هستند). پس $M(\mathcal B)\subset M(\mathcal A)=\mathcal A $ .

برای طرف دیگر فرض کنید $ A\in \mathcal A $ دلخواه باشد در اینصورت $ A $ یا
$ A^c $ شمارا است. خوب چون $ M(\mathcal B) $ سیگما جبر تولید شده توسط تمام مجموعه های تک عضوی است پس اجتماع شمارا از این مجموعه های تک عضوی هم ضوی از $ M(\mathcal B) $ است. به عبارت دیگر $ M(\mathcal B)$ شامل مجموعه های شمارا است. و چون $ A $ یا $ A^c $ شمارا است لذا $ A$ یا $ A^c $ متعلق به $M(\mathcal B) $ است. و چون سیگماجبرها تحت متمم گرفتن بسته هستند در هر صورت باید $ A\in M(\mathcal B) $ . و این یعنی $ \mathcal A\subset M(\mathcal B) $ .

Comments

ممنون اگه راه کاملش بنویسید من با ی طرفش مشکل دارم

---

سلام. یه چیزایی اضافه کردم. امیدوارم کمکتون کنه.

---

بینهایت ممنون