Question

اگر برای $ | x | < 1$ ,$x \leq f(x) \leq x+x^2$ ,مقدار $ f' $ در نقطه صفر چند است؟

Answer 1

از فرمول مشتق در نقطه صفر استفاده می کنیم: $ f' (0)= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} $.

دقت کنید با توجه به فرض داریم: $f(0)=0$. پس $ f' (0)= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} $. اما طبق فرض داریم: $1 \leq \frac{f(x)}{x} \leq x+1 $. پس طبق قضیه فشردگی $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1 $. در نتیجه $ f'(0)=1$.