کنکور 93 سوال 12:مشتق تابع $ y=\cos^2(\tan^{-1}x)$

Question

مشتق تابع $ y=\cos^2(\tan^{-1}x)$ به ازای $ x=1 $ کدام است؟

1. $ -\frac 12 $
2. $ -\frac14 $
3. $ \frac 14$
4. $ 1 $ .

Answer 1

ابتدا مشتق می گیریم سپس نقطه رو جایگزین می کنیم. مشتق $ cos^{2} (U) $ برابر $-2sin(U)cos(U) U' $ و مشتق $ tan^{-1}(x) $ برابر $ \frac{1}{1+ x^{2} } $ است. پس: $$ y' =-2sin(tan^{-1}(x)) \times cos(tan^{-1}(x)) \times \frac{1}{1+ x^{2} }$$ با جایگذاری نقطه $1$ و اینکه$ tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} $ است داریم: $$ y' \mid _{x=1} =-2sin( \frac{\pi}{4}) \times cos( \frac{\pi}{4}) \times \frac{1}{2} = \frac{-1}{2} $$ پس گزینه ی $1$ جواب صحیح است.

Answer 2

ابتدا تابع را ساده میکنیم: