از رابطه$[x]\leq x< [x]+1$ می توانیم استفاده کنیم .
$|x|$ و $[x]$ در صورتی که $x$ عدد صحیح مثبتی باشد با هم برابرند. اگر $x$ عدد مثبتی باشد در اینصورت $[x]=[|x|]\leq |x|=x$ اما اگر $x$ عددی منفی باشد $[x]$ عددی منفی می شود در حالیکه $|x|$ عددی مثبت است یعنی $[x]\leq |x|$
پس همواره $[x]\leq |x|$ (این مطلب از روی شکل هم واضح است).
در مورد رابطه بین $ [|x|],|[x]| $ اگر $x\geq 0$ باشد در اینصورت $[x]$ هم بزرگتر یا مساوی صفر است پس قدر مطلق آنها برابر خودشان است یعنی $|[x]|=[x]=[|x|]$
اگر $x< 0$ در اینصورت $|x|=-x$ .
از طرفی می دانیم که $$ [-x] =\begin{cases}-[x] & x \in\mathbb Z\\\ -[x]-1 & x \in\mathbb R-\mathbb Z\end{cases} $$
بنابراین $[|x|]=[-x]$ یا برابر است با $-[x]$ یا $-[x]-1$ که در هر صورت کوچکتر یا مساوی $-[x]$ خواهد بود.
اما چون $x< 0$ در نظر گرفتیم پس حتما $[x]$ هم منفی است لذا $|[x]|=-[x]$
و در بالا هم گفتیم در هر صورت $[|x|]$ از $-[x]$ کوچکتر یا مساوی است پس یعنی ثابت کردیم $$[|x|]\leq |[x]|$$ برای $x< 0$
بنابراین برای هر $x\in\mathbb R$ ثابت کردیم که $[|x|]\leq |[x]|$
